Quelques remarques sur le principe de concentration-compacité.

• Mihai Maris

Optimisation spectrale sous contrainte de périmètre

• Beniamin Bogosel

Dans cet exposé je présente un exemple de problème d'optimisation de formes. Il s'agit d'optimiser une valeur propre de l'opérateur Laplacien-Dirichlet associée à un domaine sous contrainte de périmètre. On propose une méthode numérique pour étudier ce problème, basée sur un résultat de Gamma-convergence. Ensuite, on trouve une condition d'optimalité qui peut être utilisée dans le cas non-differentiable des valeurs propres multiples. Cette condition d'optimalité permet à la fois d'évaluer la qualité des calculs numériques et de conclure la question de la régularité des ensembles optimaux.

Une conjecture de type De Giorgi pour des champs de vecteurs à divergence nulle.

• Antonin Monteil

La conjecture de De Giorgi classique prédit que toute solution entière d'une équation elliptique semi-linéaire en dimension n<9, vérifiant de plus une condition de monotonie, ne dépend que d'une seule variable, i.e. les courbes de niveaux sont des hyperplans. Ces résultats nécessitent généralement des hypothèses assez faibles sur la non-linéarité. Dans cet exposé, nous verrons qu'un résultat similaire subsiste en dimension 2, sous des hypothèses plus fortes, pour les minima globaux d'une énergie de type transition de phase vectorielle définie pour des champs de vecteurs à divergence nulle. Ces résultats s'appuient sur la méthode d’entropie, introduite par P. Aviles et Y. Giga pour l'étude d'un modèle simplifié de cristaux liquides.

Propagation non-linéaire de paquets d'onde

• Lysianne Hari

Dans cet exposé, nous étudierons la propagation d'états cohérents pour un système de deux équations de Schrödinger couplées, dans la limite semi-classique. Les couplages seront induits par une non-linéarité cubique ainsi que par un potentiel matriciel dont les valeurs propres peuvent présenter un "croisement" en un point donné. Nous nous attacherons à répondre à une question concernant la stabilité de la solution: on considère un état cohérent bien localisé qui "vit" dans un espace propre du potentiel; à ordre dominant, la solution associée garde-t-elle la même structure bien localisée, et reste-t-elle dans le même espace propre (adiabaticité) ? Nous étudierons des situations variées pour lesquelles on montrera qu'il y a adiabaticité, et d'autres où des phénomènes de transition ont lieu. Nous ferons un parallèle avec les résultats bien connus du cas linéaire à chaque fois.

Contrôlabilité indirecte de systèmes paraboliques linéaires avec un opérateur de couplage d’ordre un

• Michel Duprez

Variational methods and the Isobe-Kakinuma model for water waves

• Tatsuo Iguchi

The water wave problem is mathematically formulated as a free boundary problem for an irrotational flow of an inviscid and incompressible fluid under the gravitational field. It is well-known that the water wave problem has a variational structure. In fact, J. C. Luke (1967) gave a Lagrangian in terms of the velocity potential and the surface variation. M. Isobe (1994) and T. Kakinuma (2000) derived model equations for water waves and the model equations are the Euler-Lagrange equations to an approximated Lagrangian, which is obtained by approximating the velocity potential in Luke's Lagrangian. In this course, I introduce one of the model equations and explain the structure of the model and the solvability of the initial value problem.

Comportement asymptotique des solutions des équations de Navier-Stokes

• Agathe Decaster

Dans cet exposé, je présenterai les résultats que j'ai obtenus durant ma thèse portant sur les solutions des équations de Navier-Stokes stationnaires incompressibles. Mes résultats portent en particulier sur le comportement asymptotique de ces solutions quand la variable en espace tend vers l'infini dans différents types de domaines. Je présenterai donc d'abord le cas de l'espace à 3 dimensions dans lequel on a des résultats très complets, y compris dans le cas d'un domaine extérieur (le complémentaire d'un compact). J'aborderai ensuite le cas d'un demi-espace en dimension 3, puis les résultats en dimension 2, cas plus difficile où l'on doit faire des hypothèses de symétrie pour obtenir des résultats.

Limite singulière en régime toit rigide pour l'équation des vagues.

• Benoit Mesognon

La dynamique des solutions de l'équation des vagues dépend de plusieurs paramètres physiques, dont l'amplitude des vagues relativement à la profondeur. Le régime "toit rigide" pour cette équation s'obtient en faisant tendre ce dernier paramètre vers 0. Il se trouve que les solutions dans cette limite sont nulles, et que la convergence des solutions du système initial est faible mais non forte dans cette limite. On met en évidence ce défaut de convergence.

Développements BKW pour des problèmes hyperboliques à coin.

• Antoine Benoit

Modélisation mathématique et numérique du système respiratoire.

• Céline Grandmont

Une classe de schémas à mailles décalées d’ordre élevé pour les équations d’Euler compressible.

• Nicolas Therme

Les travaux présentés ici s'inscrivent dans une démarche de constructions de schémas numériques permettant de calculer des écoulement à tout nombre de Mach. Le cadre est ici le développement de schémas d'ordre élevé pour les équations d'Euler compressible satisfaisant les propriétés suivantes : positivité de la masse volumique et de l'énergie interne, conservation de l'énergie totale du système, consistance au sens de Lax des solutions discrètes ainsi que la vérification d'une inégalité d'entropie faible à la limite. Les schémas sont découplés en temps et une discrétisation spatiale de type maillage décalé est adoptée. Les inconnues scalaires sont définies au centre des cellules d'un premier maillage alors que les inconnues de vitesses sont définies sur un second maillage centré sur les faces du premier. La formulation en énergie interne des équations est utilisée afin de garantir sa positivité et éviter une discrétisation fastidieuse de l'équation de bilan d'énergie total sur un maillage décalé. Un bilan d'énergie cinétique discret est obtenu et un terme source est ajouté dans le bilan d'énergie interne pour retrouver un bilan d'énergie total à la limite. Des techniques d'interpolations d'ordre élevé de type MUSCL sont utilisées dans les opérateurs convectifs discrets. Elles se basent uniquement sur la vitesse matérielle du fluide et permettent de garantir sous condition de CFL la positivité de la masse volumique et de l'énergie interne. On s'assure ainsi que l'énergie totale ne peut croître et on obtient de plus une inégalité d'entropie discrète. Sous des hypothèses de contrôle des normes des solutions discrètes des schémas, on prouve que toute suite convergente de ces solutions va nécessairement converger vers une solution faible des équations d'Euler. De plus elles vérifient une inégalité d'entropie faible à la limite.

Avancées récentes sur la simulation numérique de modèles dispersifs type Green-Naghdi : résolutions RKDG sur maillages triangulaires.

• Arnaud Duran

Ce travail est essentiellement consacré aux problèmes de stabilité liés au développement de schémas numériques associés aux modèles d’écoulement classiques utilisés notamment en océanographie côtière. Dans un premier temps nous détaillons la construction d’une approche Volumes Finis pour le système Shallow Water avec termes sources sur maillages non structurés. En se basant sur une reformulation appropriée des équations, nous mettons en place un schéma équilibré et préservant la positivité de la hauteur d’eau. Le schéma est capable de gérer des topographies irrégulières et exhibe de fortes propriétés de stabilité. Nous proposons ensuite son extension aux approches Elements Finis type Galerkin discontinu pour des résolutions d’ordre arbitraire. L’approche est finalement étendue aux équations dispersives, et plus précisément à une nouvelle famille d’équations Green-Naghdi. Des validations numériques seront proposées pour évaluer la version opérationnelle 2d sur maillages triangulaires venant d’être développée.

Diffusion croisée et compétition en Dynamique des populations

• Ariane Trescases

En Dynamique des populations, les systèmes de réaction-diffusion croisée modélisent l’évolution de populations d’espèces en compétition avec un effet répulsif entre individus. Pour ces systèmes fortement (non-linéairement) couplés, une question aussi basique que l’existence de solutions est extrêmement complexe. Nous introduisons une approche basée sur des méthodes d’entropie et de dualité, valable dans un cadre assez général de systèmes de réaction-diffusion croisée. Cette approche permet d’obtenir de nouveaux résultats d’existence de solutions faibles pour une large gamme de tels systèmes, ainsi que certaines propriétés qualitatives. Ces travaux sont le fruit d’une collaboration avec L. Desvillettes, T. Lepoutre et A. Moussa.

Un schéma volumes finis sur maillage décalé pour la détonation dans les gaz

• Chady Zaza

Le scénario le plus probable conduisant à la formation d'une onde de détonation dans l'enceinte d'un réacteur nucléaire fait intervenir successivement une phase de pré-mélange (subsonique, basse vitesse), puis l'ignition et la propagation d'une onde de déflagration (subsonique, haute vitesse) qui peut accélérer en une onde de détonation (supersonique). La simulation de l'ensemble du scénario peut faire appel à des solveurs numériques différents. Il devient alors très avantageux d'utiliser une même discrétisation en espace, ce qui simplifie grandement les échanges entre les différents codes de calcul. Cette stratégie a été retenue pour le développement du code P2REMICS (Partially PREMIxed Combustion Solver) à l'IRSN. Le choix d'une discrétisation volumes finis à maillage décalé est intéressante pour ses propriétés de stabilités intrinsèques dans la limite incompressible. Un schéma explicite d'ordre deux, précédemment introduit pour les équations d'Euler, est ici étendu aux équations d'Euler réactif. Ce schéma met en oeuvre des techniques de décentrement "équation par équation" basées sur la vitesse matérielle uniquement. On obtient ainsi une expression des flux extrêmement simple, et facile à généraliser. On présente l'application du schéma à plusieurs problèmes de détonation 1D et 2D.

Une méthode uniformément précise pour des EDP hautement oscillantes.

• Florian Mehats

Room: Salle de conférence Nous nous intéressons à des EDP hautement oscillantes (Schrödinger non linéaire, Klein-Gordon, Vlasov-Poisson) et avons mis au point une stratégie pour construire des schémas numériques uniformément précis par rapport à la fréquence des oscillations. Cette stratégie permet de simuler ces systèmes sans raffiner le maillage lorsque les oscillations deviennent importantes, l’ordre des schémas étant préservé uniformément. Pour cela, nous définissons un problème étendu en ajoutant une variable au problème, qui prend la forme d’une équation de transport non linéaire. Des développements de Chapman-Enskog permettent de définir correctement une donnée initiale pour ce problème augmenté afin de séparer les échelles rapides et les échelles lentes. Une extension au cas où le problème contient plusieurs fréquences non résonnantes sera présentée.

Accélération de la propagation Fisher-KPP en présence d’hétérogénéités.

• Andrea Tellini

Dans cet exposé, je présenterai de nouveaux phénomènes de propagation dans le cadre des systèmes de réaction-diffusion de type Fisher-KPP. Les situations que l’on considérera seront surtout liées à des modèles de dynamique des populations à une ou plusieurs lignes à diffusion rapide dans un environnement bidimensionnel. Je montrerai aussi l’effet d’hétérogénéités de réaction, également dans des cas 1D-2D, mais aussi 2D-2D.

Maximisation des valeurs propres de Steklov sur une surface.

• Romain Petrides

Etant donnée une surface compacte avec un bord non vide, nous traiterons de la question suivante : existe-t-il une métrique riemannienne régulière qui maximise la k-ème valeur propre de Steklov sur cette surface ? Nous donnerons également le lien entre ce problème et celui de l'existence de surfaces minimales à bord libre dans une boule.​

Occupation immédiate de l'espace pour les gaz de Boltzmann

• Marc Briant

Imaginons une salle séparée en deux compartiments par une paroi hermétique. L'un de ces compartiments est vide tandis que l'autre contient un gaz. Que se passe-t-il lorsque l'on ôte la paroi ? La réponse mathématique est que le gaz va se répandre pour remplir immédiatement chaque recoin de la salle entière. Dans cet exposé je présente comment obtenir ce résultat à partir de l'équation de Boltzmann dans un domaine convexe borné C^2. Plus précisément, je donnerai un aperçu des méthodes analytico-géométriques aboutissant à l'existence d'une borne inférieure exponentielle uniforme pour les solutions de l'équation de Boltzmann.