Description
Sur la fonction zêta de Selberg du groupe modulaire.
Dans un article fondateur de 1956, Selberg introduisit une fonction zêta des longueurs des géodésiques sur la surface modulaire H/PSL 2 (Z). La formule des traces de Selberg connecte les zéros de cette fonction et le spectre du laplacien hyperbolique, agissant sur les fonctions PSL 2 (Z)-invariantes sur H. La fonction zêta de Selberg possède des mystérieux liens et analogies avec la fonction zêta de Riemann, et plus généralement les fonctions zêta des corps de nombres. Malgré une histoire ancienne de 60 ans, parmi les analogies il manquait le calcul de la valeur spéciale en s = 1.
Dans cet exposé, je présenterai cette formule et les éléments nécessaires pour sa compréhension. Elle a été obtenue dans un travail avec Anna von Pippich, comme un cas particulier d’une formule de Riemann–Roch en géométrie d’Arakelov.
