Séminaire de Probabilités commun ICJ/UMPA

Distribution limite et moments harmoniques d'un processus de branchement dans un environnement aléatoire

par Quansheng Liu

Europe/Paris
salle Fokko du Cloux (ICJ)

salle Fokko du Cloux

ICJ

Description
Soit $(Z_n)_{n\geq 0}$ un processus de branchement dans un environnement $\xi = (\xi_0, \xi_1, \cdots ) $ indépendant et identiquement distribué, indexé par le temps $n=0,1, \cdots$. Lorsque l'environnement $\xi$ est donné, $(Z_n)_{n\geq 0}$ est un processus de Galton -Watson non-homogène, dont la loi de reproduction des individus de la $n$-ème génération est $ p(\xi_n) : = (p_0(\xi_n), p_1(\xi_n), p_2(\xi_n), ...)$ (qui dépend de l'environnement au temps $n$). Nous considérons le cas sur-critique où $P(p_0(\xi_0)=0) =1 $ et $P (p_1 (\xi_0) >0) >0$. Nous montrons que pour tout $j\geq 1$, la limite $q_j = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{P(Z_n=j) }{ [Ep_1(\xi_0)]^n } $ existe à valeurs dans $[0,\infty)$, avec $q_j >0$ si et seulement si l'état $j$ est accessible. La mesure limite $(q_1,q_2, \cdots)$ peut être calculée par une relation de récurrence, dont la fonction génératrice $G(s) = \sum_{j\geq 1} q_j s^j$ est caractérisée par une équation fonctionnelle. Dans la démonstration, nous trouvons un phénomène de changement de phases pour les propriétés asymptotiques des moments harmoniques $E Z_n^{-r}$ de $Z_n$, dont la valeur critique est différente que celle pour l'existence des moments harmoniques de la variable limite $W = \lim_{n\rightarrow \infty} Z_n/ E(Z_n | \xi)$. Ce dernier résultat montre une différence remarquable de nature entre le cas d'un environnement aléatoire et le cas d'un environnement constant. (Travail commun avec Ion Grama et Eric Miqueu.)
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