Colloque 2013 du GDR 2875, Topologie Algébrique et Applications

16 oct. 2013, 09:00 → 18 oct. 2013, 18:15 Europe/Paris

Amphi L005 (bâtiment L) (Université d'Angers)

Ce colloque est la réunion annuelle du GDR 2875 Topologie Algébrique et Applications; son but général est de réunir des mathématiciens débutants et des chercheurs confirmés travaillant dans ce domaine. Le programme comprendra un cours et des exposés de recherche.

Le premier exposé commencera à 10h et le dernier terminera à 16h.

Organisateurs : Luc Menichi (Angers), Geoffrey Powell (Angers)
Comité Scientifique : Natalia Castellana (Barcelone), Geoffrey Powell (Angers), Stephen Theriault (Southampton)
Secrétaire du colloque : Alexandra Le Petitcorps (LAREMA)

Site web du GDR

mercredi 16 octobre ¶

1 Simple biset functors and the double Burnside ring¶

This is a joint work with Serge Bouc and Jacques Thévenaz. Let G be a finite group and k be a field. The purpose of this talk is to investigate the simple modules for the double Burnside ring kB(G;G). It turns out that these modules are evaluations at G of simple biset functors. For a fixed finite group H, we introduce a suitable bilinear form on kB(G;H) and prove that the quotient of the functor kB(-;H) by the radical of the bilinear form is semi-simple. This allows for a description of the evaluation of simple functors, hence of simple modules for the double Burnside ring. The evaluation of a simple biset functor at a finite group G may be zero. We give examples where this happens, as well as where this does not occur. Under some restrictive conditions on G we can give a closed formula for such an evaluation.

Orateur: Dr Radu Stancu (LAMFA, Université de Picardie)

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2 Modèle rationnel du complémentaire d'un sous-polyèdre dans une variété à bord et application aux espaces de configurations¶

En partant d'un plongement d'un sous-polyèdre compact K dans une variété compacte à bord W, nous allons construire un modèle algébrique de l'espace complémentaire W\K. Nous montrerons que, sous certaines conditions sur la codimension et sur la connexité de la variété W, ce modèle algébrique admet une structure d'ADGC (algèbre différentielle graduée commutative) et donc capture le type d'homotopie rationnelle de W\K. Nous en déduirons que, sous ces hypothèses de connexité et de codimension, le type d'homotopie rationnelle du complémentaire ne dépend que de la classe d'homotopie rationnelle de l'inclusion de la paire (K,K∩∂W) dans (W,∂W).

Orateur: Dr Hector Cordova Bulens (Université catholique de Louvain)

11:40 Mini-pause

3 Equivariant Lefschetz formulas for smooth actions of compact groups¶

The classical Lefschetz-Hopf fixed-point formula equates two different computations for the trace of a self-map of a smooth compact manifold: one side computes it locally and geometrically, the other side globally and homologically. In a series of papers, Heath Emerson and Ralf Meyer generalize the geometric side to equivariant self-maps -- or even self-correspondences -- of a compact manifold acted upon by a compact Lie group. This invariant lives in the representation ring of the group. In joint work, we compute it homologically by way of topological equivariant K-theory. In particular, the formula simplifies to rather pleasing forms for finite groups and Hodgkin Lie groups. The constructions and proofs use equivariant Kasparov theory in an essential way.

Orateur: Dr Ivo Dell'Ambrogio (Lille)

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12:50 Déjeuner

Déjeuner au Foyer Darwin

4 Suites de localisation en K-Théorie¶

Dans cet exposé, je passerai rapidement en revue les suites de localisation en K-théorie algébrique pour les entiers (Quillen) et ku (Blumberg-Mandell), ainsi qu'une variante pour la première K-théorie de Morava connective. Ensuite, je les utiliserai pour évaluer la K-théorie algébrique des localisations de ces spectres (avec J. Rognes).

Orateur: Prof. Christian Ausoni (LAGA, Paris 13)

5 A lift of a Batalin-Vilkovisky algebra structure on the double cobar construction¶

Let X be a simplicial set. H.-J. Baues constructed an explicit coproduct on the cobar construction of X. This coproduct can be expressed as co-operations on the chain complex of X. We establish a criterion in terms of these co-operations for the obtention of a Batalin-Vilkovisky algebra structure up to homotopy (in the sense of Gerstenhaber-Voronov) on the double cobar construction. As an application we obtain a Batalin-Vilkovisky algebra structure up to homotopy on the double construction of an iterated simplicial suspension. We also discuss the particular case when the ground ring is a characteristic zero field.

Orateur: M. Alexandre Quesney (Université de Nantes)

16:05 Pause

Thé

6 Realization of differential graded Lie algebras¶

We extend the classical realization Quillen functor to unbounded differential graded Lie algebras, or more generally, to L-infinity algebras, to algebraically model the rational homotopy theory of non-connected spaces. Lie models of Mapping spaces and differential graded Lie algebras arising in deformation theory are examples which fit in our project and will be explicitly treated. This is joint work with Urtzi Buijs.

Orateur: Aniceto Murillo (Universidad de Malaga)

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7 Sur la résolution injective minimale dans U du module F(1)¶

Les calculs des groupes d'extension Ext_P(I^(n),I^(n)) dans la catégorie P des foncteurs polynomiaux stricts donnent la motivation pour comprendre Ext_U(\Phi^n F(1),\Phi^n F(1)). La difficulté de ces calculs provient du fait qu'on connait mal la structure de la résolution injective minimale de F(1). Les informations données par des groupes d'extension dans la catégorie F des foncteurs nous permettent de récuperer des renseignements sur la partie nilpotente de la résolution injective minimale de F(1). Cela est suffisant pour déterminer une certaine classe de groupes d'extension Ext_U(\Phi^n F(1),\Phi^n F(1)).

Orateur: M. The Cuong NGUYEN (Université Paris 13)

jeudi 17 octobre ¶

8 Groupes fondamentaux de variétés algébriques complexes¶

Le but de ce mini-cours est de présenter quelques propriétés du groupe fondamental ${\pi }_1(X)$ d'une variété (quasi)projective complexe, lisse et connexe $X$. J. P. Serre a posé, il y a plus de 50 ans, la question de déterminer parmi les groupes de présentation finie, les groupes qui peuvent être de groupes fondamentaux de telles variétés. Même si on est loin d'avoir une réponse complète à cette question, les dernières années ont vu de progrès significatives, qu'on essayera de présenter dans ce cours. L'idée centrale est que les représentations linéaires du ${\pi }_1(X)$, même celles de rang un (et les groupes de cohomologie de $X$ à coefficients dans les systèmes locaux associés) contiennent une riche information sur ${\pi }_1(X)$. Entre les exemples très concrets des groupes fondamentaux et les relations avec des théories très vastes (les modèles minimaux et la formalité des espaces dans le sens de D. Sullivan et la théorie de Hodge mixte due à P. Deligne) qu'on va rappeler brièvement, ce mini-cours se veut une promenade instructive et agréable le long d'un chemin où il y a encore beaucoup de trésors à découvrir. La théorie de Hodge mixte n'est pas un prérequis.

Orateur: Alexandru Dimca (Univ. Nice Sophia Antipolis)

9 Formalité multiplicative de l'opérade de Kontsevich et structure d'algèbre de Gerstenhaber¶

Lambrechts et Volic ont donné les détails de la preuve de Kontsevich sur la formalité de l'opérade des petits cubes. Ils montrent en particulier que l'opérade de Kontsevich (équivalente à l'opérade des petits cubes) est formelle comme opérade multiplicative à homotopie près. Dans cet exposé, nous allons montrer (juste esquisser la preuve), en utilisant la théorie homotopique des opérades, que cette opérade (l'opérade de Kontsevich) est formelle comme opérade strictement multiplicative. Ce résultat a deux conséquences importantes: (1) le model cosimplicial de l'espace des longs nœuds (model cosimplicial de Sinha) est formel; (2) (la plus importante) il existe un isomorphisme d'algèbres de Gerstenhaber entre la page E^2 de la suite spectrale de Bousfield-Kan associée à l'espace cosimplicial de Sinha et l'homologie de l'espace des longs noeuds.

Orateur: M. Paul Arnaud Songhafouo Tsopméné (UCL)

11:40 Mini-pause

10 Non-commutative algebras and Poisson algebras¶

This is a joint work with R. Berger (St-Etienne). Following the idea that classical mechanics should be a limit case of quantum mechanics, P.A.M. Dirac explained that the commutator of dynamical variables in quantum mechanics should be the analogue of the symplectic Poisson bracket of |R^{2r} in classical mechanics. Working in a mathematical setting, we consider a non-commutative algebra B, which can be seen as a deformation of a Poisson algebra T. This algebra B belongs to a family of 3-Calabi-Yau algebras defined by potentials and depending on a natural integer n and the algebra B is for us the most interesting example in the case n=2. We give cohomological links between B and T, as we obtain the Poisson cohomology of T and prove that the Hochschild cohomology of B is isomorphic to the Poisson cohomology of T.

Orateur: Mme Anne Pichereau (ICJ, Univ. Jean Monnet)

12:50 Déjeuner

Déjeuner au Foyer Darwin

11 Groupes fondamentaux de variétés algébriques complexes II¶

12 A bridge between commutative and noncommutative motives, and algebraic geometry¶

In this talk, I will recall how one can build a bridge between noncommutative and commutative Chow motives. Crossing this bridge allows us to understand geometrical and birational properties of smooth projective varieties by considering their derived categories of coherent sheaves. In particular, one can reconstruct intermediate Jacobians and state categorical Torelli-type Theorems for some complex variety. This results are obtained in a joint work with G.Tabuada.

Orateur: Marcello Bernardara (Institut de Mathématiques de Toulouse)

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16:40 Pause

Thé

13 Cubic quotients of braid groups and the Links-Gould polynomial¶

One of the 'small' quantum (super-)groups provides an interesting polynomial invariant of knots and links, known as the Links-Gould polynomial. As opposed to its more famous cousins, (the Alexander, Jones, Homfly-pt and Kaufmann polynomials), its natural algebraic counterpart, which should be a quotient of the group algebra of the braid group was not understood at all. I will present recent progress on this subject, obtained in a joint work with E. Wagner. This progress is based on remarkable properties of the cubic quotients of the braid groups, which are of independent interest.

Orateur: Prof. Ivan Marin (LAMFA, Université de Picardie)

14 Une propriété de détection en K-théorie réelle¶

Des travaux récents de Bruner-Greenlees et Powell montrent comment effectuer le calcul de la K-théorie orthogonale connexe de V (l'anneau ku^*(BV)) et de la K-théorie unitaire connexe de V (l'anneau ko^*(BV)), pour V un 2-groupe abélien élémentaire. Les méthodes utilisées pour faire les deux calculs sont différentes, et ne sont pas indépendantes. Dans cet exposé, je montrerais comment, à l'aide de méthodes entièrement équivariantes, on obtient des informations sur kR^*(BV), où kR est une version connexe de la K-théorie Réelle introduite par Atiyah, donnant ainsi une approche unifiée des calculs des ku et ko-cohomologies de V.

Orateur: M. Nicolas Ricka (IRMA)

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19:45 Dîner

Bon Pasteur

vendredi 18 octobre ¶

15 Groupes fondamentaux de variétés algébriques complexes III¶

16 Théorie de l'homotopie des algèbres sur un prop¶

On définit la notion d'espace de classification d'une catégorie d'algèbres sur un prop et on montre qu'une équivalence faible entre props cofibrants induit une équivalence faible des espaces de classification. On expose deux conséquences d'un tel résultat. La première est une généralisation d'un théorème central de la thèse de Rezk. La deuxième est un résultat d'invariance homotopique de la localisation simpliciale d'une catégorie d'algèbres sur un prop cofibrant. Cela implique une cohérence homotopique de la notion d'algèbre à homotopie près dans un contexte très général.

Orateur: Sinan Yalin (Université Lille 1)

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11:25 Mini-pause

17 Derived representation schemes, Lie (co)homology and a Macdonald type conjecture¶

We explicitly relate the homotopy commutative DGA corresponding to the derived representation scheme DRep_n(A) of an augmented algebra A to the Chevalley-Eilenberg homology of Lie coalgebras arising out of certain DG coalgebras associated with A. As a result, we can construct a natural map (of homotopy commutative DGAs) from DRep_n(A) to the n-th symmetric power of DRep_1(A). The latter map can be viewed as a derived Harish-Chandra homomorphism. For A a polynomial algebra, we obtain explicit formulas for the composition of the derived Harish-Chandra homomorphism with the higher traces from (reduced) cyclic homology. We further conjecture that when A=k[x,y], this map is in fact, a quasi-isomorphism. Time permitting, we will try to explain how our conjecture, if true leads to a new Macdonald type identity. (This is joint work with Yuri Berest, Giovanni Felder and Aliaksandr Patotski.)

Orateur: Dr Ajay Ramadoss (IU Bloomington)

12:35 Déjeuner

Déjeuner au Foyer Darwin

18 Coherent presentations of Artin groups¶

A coherent presentation of a monoid is an extension of a presentation of this monoid by a homotopy basis, making a natural cellular complex associated to the presentation contractible. In the case of Artin monoids, we show that the usual presentation defined by Artin, using braid relations, can be completed in a coherent presentation that we give in an explicit way. Since any Artin monoid embeds in its Artin group, the coherent presentation of the monoid gives a coherent presentation of the group. I will show that our procedure gives a new proof of a theorem of Deligne concerning the action of an Artin monoid on a category in terms of a presentation based on the Garside structure. This is a joint work with Stéphane Gaussent and Yves Guiraud.

Orateur: M. Philippe Malbos (Institut Camille Jordan, Université Claude Bernard Lyon 1)

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19 String topology of classifying spaces¶

Let G be a Lie group. Chataur and Menichi showed that the homology of the free loop space L(BG) admits a rich algebraic structure: it is part of a homological field theory, meaning that it admits operations parameterised by the homology of mapping class groups. I will discuss a new construction of this field theory that radically enlarges the class of allowable cobordisms, trading surfaces with boundaries for arbitrary spaces with the homotopy type of a finite graph. The result is a new kind of field theory related to mapping class groups of surfaces and automorphism groups of free groups with boundary. This is joint work with Anssi Lahtinen.

Orateur: Dr Richard Hepworth (University of Aberdeen)