Orateur
Jérôme Poineau
(Université de Caen Basse-Normandie)
Description
En théorie des nombres, on est souvent amené à travailler avec des corps valués complets non archimédiens tels que $\mathbb Q_p$ ou $\mathbb C((t))$. Leurs propriétés topologiques sont peu engageantes : il ne sont pas connexes, pas localement connexes et peuvent ne pas être non plus localement compacts, comme dans le cas de $\mathbb C((t))$. Dans ces conditions, on comprend qu’il est difficile de raisonner en termes géométriques comme on en a l’habitude pour les espaces réels ou complexes.
Nous exposerons les bases d’une théorie, développée par Vladimir Berkovich dans les années 80, qui permet de résoudre ces problèmes, pour peu que l’on soit prêt à modifier l’espace. Si $k$ est un corps valué complet non archimédien, la droite de Berkovich sur $k$ contient beaucoup plus de points que les seuls éléments de $k$, mais elle satisfait toutes propriétés topologiques mentionnées précédemment. Une autre spécificité intéressante de la théorie de Berkovich est qu’elle permet de définir des espaces analytiques qui contiennent toutes les places à fois.
Nous procèderons selon le plan suivant.
- rappels sur les corps valués non archimédiens
- géométrie analytique non archimédienne : motivations et difficultés
- définition des espaces affines analytiques sur un corps au sens de Berkovich
- étude spécifique de la droite : propriétés topologiques et algébriques
- brefs compléments sur les courbes elliptiques et les courbes en général
- espaces de Berkovich globaux
Auteur principal
Jérôme Poineau
(Université de Caen Basse-Normandie)
