Ricardo Campos - The homotopy type of associative and commutative algebras
Given a (dg) commutative algebra, one can ask how much of its homotopy type is contained in its associative part. More precisely one can ask if C and C' are commutative algebras connected by a zig-zag of quasi-isomorphisms of associative algebras, must C and C' be quasi-isomorphic as commutative algebras? Despite its elementary formulation, this question turns out to be surprisingly subtle and has important consequences in Rational Homotopy Theory. In this talk, I will show how one can use operadic deformation theory to give an affirmative answer to this question in characteristic zero. We will also see how the Koszul duality between Lie algebras and commutative algebras allows us to use similar arguments to deduce that finite dimensional Lie algebras are determined by the (associative algebra structure of) their universal envelopping algebras.
(Joint with Dan Petersen, Daniel Robert-Nicoud and Felix Wierstra and based on arXiv:1904.03585)
Jacques Darné - Invariants de Milnor des tresses soudées à homotopie près
Le groupe des tresses soudées peut être défini comme un groupe de tresses en forme de tube dans l'espace de dimension $4$. Ce groupe ressemble au groupe de tresses usuel sous bien des aspects. Notamment, il s'identifie à un sous-groupe du groupe $Aut(F_n)$ des automorphismes d'un groupe libre, ce qui permet de définir des invariants dits de Milnor. L'annulation de ces invariants définit une filtration sur le groupe des tresses soudées, filtration qui n'est autre que la restriction de la filtration d'Andreadakis-Johnson définie sur $Aut(F_n)$. Dans cet exposé, on examinera une version \emph{à homotopie (d'entrelacs) près} de ces constructions. Algébriquement, ceci revient à remplacer le groupe libre $F_n$ par le \emph{groupe libre réduit} $RF_n$. Dans ce cadre plus simple, on sait montrer que les invariants de Milnor détectent la suite centrale descendante du groupe considéré, ce qui est le mieux que l'on pouvait espérer.
Julien Ducoulombier - Delooping of embedding spaces. Applications to the spaces of knots and links
During this talk, I would like to give an overview of the delooping theorems as well as applications to spaces of long embeddings. In particular, we show that spaces of long embeddings (such as knots or links) and spaces of (k)-immersions are weakly equivalent to an explicit iterated loop spaces. All of them can be expressed in terms of derived mapping spaces of operads. Such identifications can be used to understand the rational homotopy of embedding spaces.
Sira Gratz - Homotopy invariants of singularity categories
The existence of a grading on a ring often makes computations a lot easier. In particular this is true for the computation of homotopy invariants. For example one can readily compute such invariants for the stable categories of graded modules over connected graded self-injective algebras. Using work of Tabuada, we will show how to deduce from this knowledge the homotopy invariants of the ungraded stable categories for such algebras. This is based on joint work with Greg Stevenson.
Sacha Ikonicoff - Modules instables sur l'algèbre de Steenrod, et algèbres instables sur une opérade
Dans cet exposé on étudiera les opérations algébriques qui apparaissent naturellement sur certains modules instables classiques sur l’algèbre de Steenrod, tels que les modules de Carlsson, les modules de Brown-Gitler, les modules de Campbell-Selick. On se concentrera sur le cas de la caractéristique 2. On montrera comment la théorie des opérades algébriques s’adapte à l’étude des opérations dans les modules instables. Pour une opérade P fixée, et une opération * d’arité 2 et commutative dans P, on définira la notion de P-algèbre *-instable. On présentera un résultat identifiant la P-algèbre *-instable libre engendrée par un module instable à une P-algèbre libre, sous certaines hypothèses.
Victoria Lebed - Une approche bigébrique à la cohomologie des racks
Dès son origine, la théorie cohomologique des racks (ensembles munis d'une opération auto-distributive) a été guidée par les applications à la théorie des nœuds et à la classification des algèbres de Hopf. Définie en termes d'un CW complexe explicite, elle a depuis reçu des interprétations plus conceptuelles. Nous en présenterons une, qui utilise une bigèbre différentielle graduée explicite associée au rack donné. Dans cette bigèbre on lit très facilement la structure algébrique de la cohomologie des racks. En particulier on en extrait deux homotopies explicites qui contrôlent les défauts structurels au niveau de cochaînes : une pour le défaut de commutativité du cup produit, et l'autre pour le défaut de "Zinbielité" de la structure dendriforme.
Les résultats présentés proviennent d'un travail en collaboration avec Simon Covez, Marco Farinati, et Dominique Manchon.
Damien Lejay - Opérades d’endomorphisme
Est-il possible d’avoir « plus » qu’une structure d’algèbre de Lie sur l’espace tangent d’un groupe de Lie? Est-il possible de reconstruire un groupe à partir de ses représentations? Quel est le lien entre ces deux questions? La réponse est dans cet exposé. Travaux en collaboration avec Gabriel C. Drummond-Cole et Joseph Hirsh.
Johan Leray - Un théorème de transfert homotopique explicite pour les bigèbres
Depuis les travaux de Kadeishvili dans les années 80, on sait que l'homologie d'une algèbre differentielle graduée hérite d'une structure explicite d'algèbre associative à homotopie près ; cette formule est celle des produits de Massey. Ce théorème fut ensuite élargi à toute structure algébrique encodée par une opérade. On généralise ce théorème à des structures algébriques possédant des opérations à plusieurs entrées et plusieurs sorties: pour cela on utilise une notion plus générale que celle d’opérades appelée propérade. On introduira la notion d'infini-morphismes de bigèbres qui permettent notamment de comparer la structure initiale et la structure tranférée. Dans le cas particulier des bigèbres de Lie involutives à homotopie près, on retrouve les résultats de Cieliebak, Fukaya et Latschev qu'ils appliquent en topologie des cordes et en homologie cyclique, que l'on enrichit de formules explicites. Ceci est un travail en commun avec Eric Hoffbeck et Bruno Vallette, membres du LAGA, Paris 13.
Jun Maillard - A cohomology-preserving functor between fusion systems and stable module categories
Given a finite group G and a prime p, Sylow theorems ensure the existence of maximal p-subgroups of G and exhibit some of their relationships. These statements naturally lead to searching for a “p-localisation” of the group G. The theory of p-fusion has proven to be a nice setting for studying p-local properties of G. For instance, a result by Cartan and Eilenberg states that the cohomology mod p of G is determined by the cohomology mod p of its p-subgroups and the action of the fusion. The introduction by Puig of the fusion system FS(G) gave to the theory a robust categorical framework. Another strong candidate for a p-localisation is the stable module category of G, arising from modular representation theory. This category is highly structured (triangulated monoidal), and has deep links with p-local properties of G. Notably, the (Tate) cohomology, with its graded algebra structure, is given by the Hom-space of the tensorial unit.
In this talk, I introduce a cohomology-preserving functor Γ between the full subcategory of centric subgroups of the fusion system of G and the stable module category.
Michaël Mienné - Postnikov towers and Postnikov invariants for simplicial operads
Postnikov towers give a way to reconstruct up to homotopy a topological space inductively from its homotopy groups and some classes of equivariant cohomology, the Postnikov invariants or k-invariants. An important application of this construction is an alternate way to develop obstruction theory : instead of trying to extend a given simplicial morphism inductively on dimension, we can try to extend a simplicial morphism inductively through a Postnikov tower of its codomain. I will define in this talk an analogous construction and an obstruction theory for simplicial operads. I will also explain that the construction of Postnikov towers can be adapted in the setting of infinitesimal bimodules over simplicial operads. Postnikov towers can then be used to analyze the rational homotopy of operadic mapping spaces involved in the study of long knots and embedding spaces.
Joost Nuiten - Deformation problems from Koszul duality
A classical principle in deformation theory asserts that any formal deformation problem over a field of characteristic zero is classified by a differential graded Lie algebra. This principle has been described more precisely by Lurie and Pridham, who establish an equivalence between dg-Lie algebras and formal moduli problems indexed by Artin commutative dg-algebras. I will discuss an extension of this result to more general pairs of Koszul dual operads over a field of characteristic zero. For example, there is an equivalence of infinity-categories between pre-Lie algebras and formal moduli problems indexed by permutative algebras. Under this equivalence, permutative deformations of a trivial algebra are classified by the usual pre-Lie structure on its deformation complex. In the case of the coloured operad for nonunital operads, a relative version of Koszul duality yields an equivalence between nonunital operads and certain kinds of operadic formal moduli problems. This is joint work with D. Calaque and R. Campos.
Gereon Quick - Examples of non-algebraic classes in the Brown-Peterson tower
It is a classical problem in algebraic geometry to decide whether a class in the singular cohomology of a smooth complex variety X is algebraic, that is if it can be realized as the fundamental class of an algebraic subvariety of X. One can ask a similar question for motivic spectra: Given a motivic spectrum E, which classes in the topological E-cohomology of X come from motivic classes. I will discuss this question and present examples of non-algebraic classes for the tower of Brown-Peterson spectra.
Arthur Soulié - Homological representations for families of groups
Braid groups have a representation theory of wild type. Hence it is useful to shape constructions of linear representations for such family of groups to understand its representation theory. For this purpose, Lawrence and Bigelow constructed representations of the braid group on n strands using the configuration space of m points of a n-punctured disc: namely, the braid group acts on the m-th homology group of a particular covering of the configuration space. There is actually an underlying general method to build such homological representations. In this talk, I will present a unified functorial approach to this method for general families of groups. I will also show that, under some additional assumptions, notions of polynomiality on functors are a useful tool to classify these representations. This is a joint work with Martin Palmer.
Constanze Roitzheim - Equivariant homotopy commutativity, trees and chicken feet
Commutativity up to homotopy can be daunting, and it becomes even more difficult to track when equivariant structures get introduced. In the case of a finite group, however, the options for equivariant homotopy commutativity can be encoded using simple combinatorics, and we will show some examples.
