Transitions de phase et équations non locales

Deux problèmes variationnels liés aux opérateurs en forme divergence avec symbole à croissance rapide

27 avr. 2018, 15:00

1h

Orateur

Mihai Mihăilescu (U. Craiova, Roumanie)

Description

Dans cette lecture nous présentons des résultats concernant deux problèmes distincts, obtenus en collaboration avec Marian Bocea. Premièrement, nous étudions la famille d'équations aux dérivées partielles $-\epsilon \mathrm{\Delta }u-2{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\infty }}u=0$ ($\epsilon >0$) dans un domaine $\mathrm{\Omega }$ avec une condition aux limites de Dirichlet. Dans le cas où $\epsilon =1,$ qui est étroitement lié à l'étude des fonctions harmoniques exponentielles, on établit l'existence et l'unicité d'une solution classique. Celle-ci est l'unique minimiseur de la fonctionnelle d'énergie convenable associée à ce problème dans un sous-ensemble fermé d'un espace d'Orlicz-Sobolev. Plus spécifiquement, cette énergie est l'intégrale sur $\mathrm{\Omega }$ de la densité exponentielle d'énergie $u\mapsto \frac{1}{2}\exp (|\mathrm{\nabla }u{|}^2)$. On explore aussi les connections entre les solutions classiques de ces problèmes et des fonctions $\mathrm{\infty }$-harmoniques et harmoniques par l'étude du comportement aux limites des solutions quand $\epsilon \to 0^{+}$ et, respectivement, $\epsilon \to \mathrm{\infty }$. Dans le premier cas, on retrouve un résultat de L. C. Evans & Y. Yu (CPDE, 2007). Puis, nous étudions le problème de minimisation ${\mathrm{\Lambda }}_1(p):=\underset{u\in X_0\setminus \{0\}}{inf}\frac{{\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}(\exp (|\mathrm{\nabla }u{|}^p)-1)dx}}{{\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}(\exp (|u{|}^p)-1)dx}},$ où $X_0=W^{1,\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })\cap ({\cap }_{q>1}{W}_0^{1,q}(\mathrm{\Omega })),$ quand $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^D$ ($D\ge 1$) est un domaine ouvert, borné, convexe avec la frontière régulière et $p\in (1,\mathrm{\infty })$. On montre que ${\mathrm{\Lambda }}_1(p)$ est soit zéro, lorsque le maximum de la fonction distance à la frontière de $\mathrm{\Omega }$ est strictement supérieur à 1, soit un numéro réel strictement positif, lorsque le maximum de la fonction distance vers la frontière de $\mathrm{\Omega }$ se trouve dans l'intervalle $(0,1]$. Dans le dernier cas nous donnons des estimations pour ${\mathrm{\Lambda }}_1(p)$ et nous montrons que pour $p\in (1,\mathrm{\infty })$ suffisamment large ${\mathrm{\Lambda }}_1(p)$ coïncide avec la fréquence principale du $p$-Laplacien dans $\mathrm{\Omega }$. Nous discutons aussi des cas particuliers et des problèmes connexes. Cette présentation est partiellement soutenue par le projet CNCS-UEFISCDI No. PN-III-P4- ID-PCE-2016-0035.

Documents de présentation

Transparents

Mihai_Mihailescu.pdf