A spectral approach for the stability of the variance Brascamp-Lieb inequality

• Michel Bonnefont

Room: B08 In this talk, we address the stability problem of the variance Brascamp-Lieb. More precisely, if a given function almost satisfies the equality in the BL inequality, is it true that it is close (here in L^2) to the underlying extremal functions ? To answer this, we will first rewrite the BL inequality as a standard Poincaré inequality but for a diffusion operator adapted to the energy in the BL inequality. We will then prove that the stability is in fact equivalent to a second order spectral gap for this operator. Moreover, using intertwining, this second order spectral gap may also be seen as a standard spectral gap but for an operator acting on gradients. Our results will be illustrated by some new examples of stability. This is a joint work with A. Joulin (Institut de Mathématiques de Toulouse) and J. Serres (Sorbonne Université).

On set-valued intertwining duality for diffusion processes

• Laurent Miclo

Room: B08 Markov intertwinning relations were first developed in the finite state space setting to provide a probabilistic approach to convergence to equilibrium. We will see how to adapt this method to diffusions on Riemannian manifolds, through stochastic extensions of mean curvature flows.

Linear Boltzmann on the half-space : how a misunderstanding leads to an interesting problem.

• Marjolaine Puel

Room: B08 In this talk, we will consider the linear Boltzmann equation on the half space in the case where the equilibria are heavy tail and with different kind of boundary conditions. We will then study the diffusion limit in both cases, classical diffusion and anomalous diffusion and see how the boundary conditions influence the limiting system. We will then focus on the diffusive boundary conditions and consider an unadapted case where the profile of the diffusion induced by the interaction with the boundary does not coincide with the one in the domain. This talk is based on several works and in particular by L. Cesbron, A. Mellet, L. Bethencourt.

On weighted Poincaré inequalities for multivariate Liouville and elliptical distributions - Application to Global Sensitivity Analysis

• David Heredia

Room: B08 In this work, we develop new weighted Poincaré inequalities for two clases of multivariate probability measures: multivariate Liouville and elliptical contoured distributions. The former are established via a radial-type decomposition involving the Dirichlet distribution, while the latter are obtained through their spherical counterparts. We further extend this type of results to measures with prescribed copulas. Finally, we apply these results to global sensitivity analysis and illustrate their practical use in a flood model case study.

Decoupling Random Walks on the complete graph

• Ons Rameh

Room: B08 In this talk, we introduce a new model called "decoupling random walks" (DRW), as an intermediate model to the Binomial Splitting process. It consists of a system of $k = N^\gamma$ continuous-time random walks on the complete graph with $N$ vertices. Particles starting from distinct vertices evolve independently, whereas particles starting from the same vertex do not: they share the same clock and the same chosen neighbour, and the decisions of whether to jump are sampled jointly. These dependencies progressively disappear as particles separate, and eventually, all particles evolve independently. Although DRW differs from independent random walks only by this temporary dependence, its mixing behavior turns out to be significantly more complex. Indeed, we show that DRW exhibits a cutoff phenomenon at time $\beta(\gamma) \log N$, where the mapping $\gamma \mapsto \beta(\gamma)$ is non-differentiable at four transition points, leading to five distinct regimes. This is a joint work with P. Caputo, M. Quattropani, and F. Sau.

Sub-exponential tails in biased run and tumble equations with unbounded velocities

• Luca Ziviani

Room: amphi Swartz Run and tumble equations are widely used models for bacterial chemotaxis. In this talk, we present the long-time behavior of run and tumble equations with unbounded velocities. We show existence, uniqueness and quantitative convergence towards a steady state. In contrast to the bounded velocity case, the equilibrium has sub-exponential tails and we have sub-exponential rate of convergence to equilibrium. This produces additional technical challenges. We are able to successfully adapt both Harris' type and L²-hypocoercivity. This is joint work with Emeric Bouin and Josephine Evans.

La généralisation retardée en apprentissage automatique

• Jordan Serres

Room: amphi Schwartz La généralisation, c'est-à-dire le fait que les algorithmes d'apprentissage automatique arrivent à trouver la bonne réponse à des questions qu'ils n'ont pas vues pendant leur entraînement, demeure assez incomprise du point de vue mathématique. Parmi les comportements observés, l’un des plus intrigants est la généralisation retardée : les modèles mémorisent d’abord les exemples d’entraînement de manière quasi parfaite, puis, après une phase prolongée, développent soudainement une véritable capacité de généralisation. Le but de l'exposé sera de présenter et de discuter de ce phénomène sur quelques exemples.

Régularité des équations elliptiques à poids monomiaux

• Francesco Pagliarin

Room: amphi Schwartz Dans cet exposé je présenterai des théorèmes de régularité $C^{0,\alpha}$ et $C^{1,\alpha}$ pour solutions d'équations elliptiques, en forme de divergence, avec poids monomiaux. A cause de la dégéneration/singularité des poids (qui ne sont pas forcement dans la classe des poids Muckenhoupt $A_2$) la théorie classique ne s'applique pas. Grace à des théorèmes d'approximations et à des inegalités de Sobolev uniformes en $\epsilon$ on pourra quand même démontrer la régularité holderienne des solutions. C'est un travail fait en collaboration avec G. Cora, G. Fioravanti et S. Vita.

Inégalités de concentration pour des martingales matricielles continues

• Tom Maitre

Room: amphi Schwartz Dans cet exposé, nous étudierons des processus matriciels continus de la forme \sum_{i=1}^n \int_0^t H_{i,s}dB_{s}^i où (B_1,\dots, B_n) est un mouvement brownien multidimensionnel et où les (H_{i,s})_s sont des processus matriciels adaptés. Nous présenterons plusieurs inégalités non commutatives pour ces intégrales stochastiques. Dans un premier temps, une version continue de l’inégalité de Khintchine pour les normes de Schatten, puis une inégalité de type Burkholder–Davis–Gundy. La preuve repose sur l’établissement d’une inégalité de concentration de type Freedman.

Les variables sous-gaussiennes sont somme de trois gaussiennes, d'après A. Song

• Max Fathi

Room: amphi Schwartz Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents de Antoine Song sur une conjecture prédisant que les variables 1 sous-gaussiennes peuvent être réalisées comme sommes d'un nombre borné de variables gaussiennes standard, en toutes dimensions. Song démontre cette conjecture en dimension 1, et donne des nouvelles estimations sur le nombre de gaussiennes nécessaires en dimension supérieure. Je parlerai aussi des motivations de ce problème, issues de la géométrie des convexes.

Curvature and local functional inequalities for Markov semigroups

• Andreas Malliaris

Room: amphi Schwartz We will discuss the equivalence of local functional inequalities and curvature bounds in the sense of Bakry-Emery for Markov diffusion operators. In the setting of metric measure spaces that satisfy the $RCD(K,\infty)$ condition we will see how the method allows to obtain certain new functional inequalities and their local reverse counterpart. This is joint work with Devraj Duggal, James Melbourne and Cyril Roberto.

Hypocoercivité uniforme et limite diffusive pour l'équation de Vlasov-Fokker-Planck

• Pierre Gervais

Room: amphi Schwartz Les équations de Vlasov-Fokker-Planck et McKean-Vlasov modélisent des systèmes de particules en interaction et soumis à des effets diffusifs, respectivement à l'échelle mésoscopique et macroscopique. Le second modèle fournit une bonne approximation du premier dans une échelle spatio-temporelle grande, et l'étude de leurs équilibre (propriétés d'unicité, stabilité, attractivité) possèdent leurs intérêts propres. Dans cet exposé, basé sur un travail avec Maxime Herda (INRIA Lillle), nous présentons une condition suffisante pour que (l'unique) équilibre de Vlasov-Fokker-Planck soit localement attractif et qu'au voisinage de celui-ci, la dynamique puisse être approchée par celle de l'équation de McKean-Vlasov.

Low-temperature asymptotics of the Poincaré and the log-Sobolev constants for Łojasiewicz potentials

• Aziz Ben Nejma

Room: amphi Schwartz In 2024, Chewi and Stromme showed that, in the low-temperature regime, the behavior of the relative entropy with respect to a Gibbs measure reflects that of the underlying potential when the latter has a unique minimizer. They conjectured that this link extends more generally to potentials having multiple minimizers. In this talk, we show that this is not the case. We explain that when there are multiple minimizers, the geometry of the set of minimizers plays a direct role in how the constants in functional inequalities behave at low temperature.

La recherche mathématique, ses liens avec la technique selon Günther Anders.

• Ivan Gentil

Room: amphi Schwartz Nous allons voir comment Gunther Andres a une vue fascinante sur la technique. Et puisque nous, mathématiciens et mathématiciennes nous aimons généraliser et voir comment la recherche scientifique, en particulier mathématique, se retrouve dans les idées de Anders.

Modèles de diffusions en IA générative.

• Patrick Cattiaux

Room: amphi Schwartz Parmi les algorithmes génératifs, les modèles de diffusion basés sur le score sont parmi les plus utilisés. Si le gap entre modèles théoriques et mise en oeuvre pratique reste important, une étude mathématique rigoureuse des modèles théoriques met en jeu des outils sophistiqués et variés (calcul stochastique, transport, inégalités fonctionnelles ...). J'essaierai de présenter, sur deux ou trois modèles, les difficultés (et leur résolution) qui sont souvent éludées dans la littérature dédiée.

ResNets de toutes formes et tailles : théorie quantitative à grande échelle de la dynamique d'entraînement

• Louis-Pierre Chaintron

Room: amphi Schwartz Nous étudions la convergence de la dynamique d'entraînement des réseaux neuronaux résiduels (ResNets) vers leur limite conjointe de profondeur et de largeur infinies. Nous nous concentrons sur des ResNets composés de blocs perceptrons à deux couches, dont la structure est déterminée par la profondeur L, la largeur cachée M et la dimension des paramètres D. Nous montrons qu'après un nombre borné d'étapes d'entraînement, l'erreur entre le ResNet de taille finie et sa limite de taille infinie est de l'ordre de O( 1/L + \sqrt{D/LM} + 1/\sqrt{D} ) et des expériences numériques suggèrent que cette borne est optimale durant la phase initiale de l'entraînement. D'un point de vue probabiliste, la limite correspond à une limite de champ moyen sur les coordonnées des paramètres, où certaines interactions évoluent en 1/\sqrt{D}, contrairement au cadre classique en 1/D. Notre analyse constitue une instance rigoureuse et quantitative de méthodes issues de la physique statistique (Dynamical Mean Field Theory, DMFT) ; elle combine des arguments de propagation du chaos avec la méthode de la cavité à un niveau fonctionnel.

Étude qualitative du processus cinétique de Langevin réfléchi

• Paul Invernizzi

Room: amphi Schwartz Nous étudions l'interprétation probabiliste de l'équation cinétique de Fokker-Planck dans un domaine borné en position, avec des conditions aux limites réfléchissantes. Nous construisons le processus cinétique de Langevin réfléchi associé et étudions son comportement à long terme en fonction des conditions aux limites à l'aide d'outils probabilistes (théorie de Harris). Nous nous intéressons également aux cas où la mesure invariante est la mesure de Gibbs, par exemple le processus de Langevin avec des réflexions spéculaires ou maxwelliennes. Ce travail constitue une première étape vers l'analyse de l'échantillonnage d'une mesure de Gibbs dans un domaine borné pour une dynamique cinétique de Langevin qui serait la discrétisation de notre processus réfléchi.

Active Brownian particles with mean-field interaction: singular interactions and multiple invariant measures

• Oscar de Wit

Room: amphi Schwartz We introduce a mean-field McKean-Vlasov model for a collective of ants. The model sustains two non-trivial dynamical behaviours: aggregation and lane formation. We show the well-posedness and mean-field limit for the particle model with singular interactions via a compactness method. We also show the existence of multiple invariant measures via perturbative Fourier-style bifurcation analysis, reflecting the aggregation and lane formation behaviours (joint work with Matthias Rakotomalala). We conclude with some open problems pertaining to interacting active Brownian particle models.