Organisation :
Jeudi 13 juin
- 10h00-11h00 : accueil & café
- 11h00-12h00 : session 1
-- 11h00 : Marc Dambrine
-- 11h30 : Morgan Pierre - 12h00-14h00 : repas
- 14h00-15h30 : session 2
-- 14h00 : Pierre Weiss
-- 14h30 : Ayse Nur Arslan
-- 15h00 : Franck Iutzeler - 15h30-16h00 : pause café
- 16h00-17h00 : session 3
-- 16h00 : Samir Adly
-- 16h30 : Aude Rondepierre - 20h00 : dîner
Vendredi 14 juin
- 9h00-10h00 : session 4
-- 9h00 : Loïc Bourdin
-- 9h30 : Abdallah El Hamidi - 10h00-10h30 : pause café
- 10h30-11h00 : session 5
-- 10h30 : Armand Koenig
-- 11h00 : Sylvain Ervedoza - 11h30 : mot de la fin
- 12h00 : repas
Liste des oratrices et orateurs :
Samir Adly (Université de Limoges)
Titre : La dynamique limite du système inertiel accéléré par gradient lorsque le coefficient évanescent $\alpha$ devient grand : une approche par perturbation singulière
Résumé : Dans un espace de Hilbert réel, nous nous concentrons sur le système dynamique continu introduit par Su, Boyd et Candès comme une version basse résolution d'une équation différentielle ordinaire de la méthode du gradient accéléré de Nesterov (NAG). Ce système inertiel, représenté par $\mathrm{(AVD)}{\alpha}$, est dirigé par le gradient de la fonction $f$ qui est sujette à minimisation et comporte un mécanisme d'amortissement avec un coefficient asymptotique évanescent de la forme $\alpha/t$, où $\alpha \geq 3$. Sélectionner un $\alpha$ suffisamment grand est crucial pour assurer les caractéristiques désirables de convergence asymptotique des trajectoires. Plus précisément, pour une fonction convexe générale $f$, choisir $\alpha > 3$ assure un taux de convergence asymptotique des valeurs en $o\left(1/t^2\right)$, en plus de la convergence des trajectoires vers les solutions optimales. Dans le cas des fonctions fortement convexes $f$, le taux de convergence atteint asymptotiquement l'ordre de $1/t^{\frac{2\alpha}{3}}$, s'améliorant avec l'augmentation de $\alpha$. Pour élucider l'influence du paramètre $\alpha$ sur les propriétés de convergence de $\mathrm{(AVD)}_{\alpha}$, notre analyse révèle qu'une mise à l'échelle temporelle appropriée de $\mathrm{(AVD)}_{\alpha}$ produit des trajectoires qui ressemblent étroitement à celles générées par la méthode de la descente de gradient continue associée à $f$, particulièrement lorsque $\alpha$ est substantiellement grand. Cette approche met en lumière un phénomène de perturbation singulière à mesure que l'analyse passe d'une équation d'évolution du second ordre à une équation du premier ordre. Une telle transition est fondamentale pour comprendre le changement du taux de convergence de $1/t$ à $1/t^2$, distinguant la méthode de la descente de gradient de NAG.
Ayse Nur Arslan (Université de Bordeaux, INRIA)
Titre : Uncertainty reduction in (static) robust optimization
Résumé : In this talk, we focus on (static) robust optimization problems where the uncertainty set can be controlled through the actions of the decision maker known as decision-dependent uncertainty. Particularly, we consider an uncertainty reduction paradigm where the decision-maker can reduce upper bounds of uncertain parameters as a result of some proactive actions. This paradigm was recently proposed in the literature and the resulting problems were shown to be NP-Hard. In this talk, we pay particular attention to the special case of robust combinatorial optimization problems, and show that they are also NP-Hard under the uncertainty reduction paradigm. Despite this discouraging result, we show that under some additional assumptions polynomial-time algorithms can be devised to solve robust combinatorial optimization problems with uncertainty reduction. We additionally provide insights into possible mixed-integer linear programming reformulations in the general case and illustrate the practical relevance of our results on the shortest path instances from the literature.
Loïc Bourdin (Université de Limoges)
Titre : Problèmes de contrôle optimal avec des régions de perte de contrôle
Résumé : Dans cet exposé, nous nous intéresserons à des problèmes de contrôle optimal avec des régions de perte de contrôle. Dans ce contexte, l'espace d'état est divisé en plusieurs régions qui sont de deux types : les régions de contrôle et les régions de perte de contrôle. Lorsque l'état appartient à une région de contrôle, le contrôle est « permanent » (comme d’habitude, la valeur du contrôle peut être modifiée en tout temps). En revanche, lorsque l'état appartient à une région de perte de contrôle, le contrôle est « gelé » (il reste constant, égal à la valeur qui lui a été attribuée en entrant dans la région de perte de contrôle). En reformulant ce cadre sous la forme de problèmes de contrôle optimal spatialement hétérogènes, nous donnerons les conditions nécessaires d’optimalité du premier ordre sous la forme d’un principe du maximum de Pontryagin (PMP). Ensuite, nous proposerons un schéma numérique en deux étapes pour résoudre les problèmes de contrôle optimal avec des régions de perte de contrôle : la première étape consiste en une méthode numérique directe appliquée à un problème régularisé, qui permet d’initialiser correctement la deuxième étape qui consiste en une méthode numérique indirecte (basée sur le PMP ci-dessus) appliquée au problème d’origine. L’exposé inclura également quelques exemples et contre-exemples. Travail en collaboration avec Térence Bayen, Anas Bouali et Olivier Cots.
Marc Dambrine (Université de Pau)
Titre : Optimisation de structures mécaniques sous incertitudes : cas de la probabilité de dépassement
Résumé : Nous considérons la question de l'optimisation de structures mécaniques sous des chargements aléatoires. Nous nous concentrons sur la minimisation des probabilités de défaillance. Notre approche repose sur le fait que la zone de sureté dans l'espace des chargements est un ellipsoïde lorsque la fonction de forme qui nous intéresse est quadratique.
Nous dérivons les expressions respectives de la fonction de forme et du gradient de forme correspondant. Malheureusement, sans formuler d'hypothèses sur la lois des chargements, nous sommes ramené à évaluer une intégrale de grande dimension et sommes donc confrontés au fléau de la dimension.
En revanche, si nous supposons que le chargement considéré est un champ aléatoire gaussien, nous évitons le fléau de la dimension grâce à des calculs analytiques de la fonction de répartition d'une chi-deux généralisée. Nous dérivons un algorithme d'optimisation de forme algorithme efficace. Des résultats numériques en trois dimensions valident cette approche.
Abdallah El Hamidi (Université de La Rochelle)
Titre : Fonctions minimales pour des inégalités de Sobolev anisotropiques
Résumé : On s’intéresse dans cet exposé à l’opérateur anisotropique de type p-Laplacien directionnel. On montre que l’équation aux dérivées partielles associée, avec exposant critique de Sobolev, possède bien des solutions dans un espace de Sobolev anisotrope adéquat. L’outil développé dans ce travail est la généralisation du principe de concentration-compacité de P. L. Lions aux opérateurs différentiels anisotropes. Quelques résultats de régularité seront ensuite présentés.
Sylvain Ervedoza (Université de Bordeaux, CNRS)
Titre : On the link between the reachable space for the heat equation and the heat semigroup
Résumé : The goal of this talk is to present some results on the reachable space for the heat equation, based on several works: SE, Kévin Le Balc’h & Marius Tucsnak; SE & Adrien Tendani-Soler. As I will explain, this question is in fact closely related to the possibility to extend the heat semigroup on some spaces of holomorphic functions on an appropriate square or rhombus. Note that this property is also the one essentially used in the work by Alexander Strohmaier and Alden Waters in their study of the reachable space of the heat equation thanks to the so-called Wick rotation. In particular, our work allows to describe almost optimally the reachable space for the heat equation in the presence of lower order terms and semi-linear terms.
Franck Iutzeler (Université Toulouse III)
Titre : Wasserstein Distributionnally Robust Optimization and Statistical Learning
Résumé : In statistical learning, the distribution of the data can change between training and practical use-cases due to biases or distribution shifts. A remedy for this obstacle is to train a model on the worst distribution for the objective that is close to the data (in the sense of the Wasserstein distance). As this problem is often intractable, we first show how to regularize it in order to implement numerical methods, while controlling this approximation. Finally, we will also consider the statistical guarantees of such models. In collaboration with Waïss Azizian and Jérôme Malick.
Armand Koenig (Université de Bordeaux)
Titre : Geometric control conditions for the fractional heat equation
Résumé : We know that the null-controllability of the heat equation on a subdomain $\omega$ is equivalent to the thickness of $\omega$ (a geometrical notion asking that $\omega$ is, in some sense, spread out in the whole space). In fact, if $\omega$ is thick, the fractional heat $(\partial_t + (-\Delta)^s )f = 1_\omega u$ is null-controllable as long as $s > 1/2$.
What about the case $s \leq 1/2$? The good geometrical notion on $\omega$ to study the null-controllability is stronger than the thickness, and we will discuss some sufficient condition that ensures the null-controllability, as well as some necessary condition.
Morgan Pierre (Université de Poitiers)
Titre : Convergence vers un état stationnaire pour des discrétisations en temps et en espace de l'équation de Cahn-Hilliard
Résumé : Dans cet exposé, je vais passer en revue plusieurs discrétisations de l'équation de Cahn-Hilliard qui sont stables dans le sens où l'énergie du système décroît au cours du temps. Dans beaucoup de cas, il est possible de montrer que la solution converge vers un état stationnaire. La preuve est basée sur la théorie de Lyapunov et une inégalité de type Lojasiewicz. Dans certains cas, le résultat de convergence est seulement partiel et cela suscite des questions intéressantes.
Aude Rondepierre (Université Toulouse III)
Titre : Strong convergence of the iterates of FISTA
Résumé : In this talk, we are interested in the famous FISTA algorithm. In a first part we show that FISTA is an automatic geometrically optimized algorithm for functions satisfying some quadratic growth assumption and having a unique minimizer. This explains why FISTA works better than the standard Forward-Backward algorithm (FB) in such a case, although FISTA is known to have a polynomial asymptotic convergence rate while FB is exponential. We provide a simple rule to tune the α parameter within the FISTA algorithm to reach an ε-solution with an optimal number of iterations. These new results highlight the efficiency of FISTA algorithms, and they rely on new non asymptotic bounds for FISTA. In a second part, we will extend these results and prove that the iterates of FISTA strongly strongly converge to a minimizer of F as soon as F satisfies some growth condition weaker than the strong convexity, and without the minimizer's uniqueness assumption.
Pierre Weiss (Centre de Biologie Intégrative Toulouse, CNRS)
Titre : Identifier ce qui est non identifiable
Résumé : Les réseaux de neurones ont permis d'obtenir des performances inégalées pour de nombreux problèmes inverses. Bien que les résultats obtenus puissent être bluffants: il semble aujourd'hui indispensable de certifier que les solutions obtenues correspondent bien à la réalité sous-jacente. Un mauvais diagnostic sur la caractérisation d'une tumeur peut par exemple avoir des conséquences désastreuses.
Dans cet exposé, je présenterai nos recherches récentes sur la certification et la quantification d'incertitude des problèmes inverses. Après avoir exprimé ce problème comme l'exploration des sous-lignes de niveau d'une fonction en grande dimension, nous montrerons comment il est possible de d'explorer des ensembles d'incertitude avec des algorithmes numériques. Ceci requiert entre autres le calcul de valeurs propres minimales d'opérateurs en grande dimension. Nous illustrerons aussi quelques applications aux systèmes dynamiques et aux problèmes inverses.
