Surfaces affines et germes tangents à l'identité

10 juil. 2023, 09:00 → 13 juil. 2023, 17:00 Europe/Paris

Salle K. Johnson (1R3-1er étage) (Institut de Mathématiques)

L'objectif de ce workshop est de faire le point sur les problèmes actuels à l'interface entre les trois domaines suivants : les trajectoires en temps réel des champs de vecteurs holomorphes dans C2; l'étude des géodésiques des surfaces de Riemann munies d'une structure affine (les changements de cartes sont des applications; et enfin l'étude de la dynamique des germes tangents à l'identité à l'origine. 

lundi 10 juillet

1 Real-time dynamics of vector fields and affine structures on Riemann surfaces

In this talk, we will typically consider a homogeneous polynomial vector field $X$ of degree $\geq 2$ on ${\mathbb C}^2$. In particular, the time-one map induced by $X$ defines a germ of parabolic diffeomorphism $h$ of $(C^2,0)$. The vector field $X$ also induces a singular affine structure on the Riemann sphere which, in turn, leads to a "geodesic flow", or "billiard dynamics", encoding much of the dynamics of $h$. We will try to make these connections accurate, in particular explaining how the monodromy of the mentioned affine structure can be read off the projective holonomy of the foliation associated with $X$. If time permits, we might say a word about higher dimensional versions of this construction.

Orateur: Julio Rebelo

10:00 Pause Café

2 Homogeneous vector fields on ${\mathbb C}^2$ and meromorphic connections on ${\mathbb P}^1({\mathbb C})$

Following the work of Abate, Bracci, and Tovena, I will explain a relation between the real integral curves of a homogeneous vector field on ${\mathbb C}^2$ and the geodesics for a suitable meromorphic connection on ${\mathbb P}^1({\mathbb C})$. The result partially generalizes in higher dimensions

Orateur: Fabrizio Bianchi

12:00 Déjeuner au restaurant l'Esplanade

3 Domaines spiralants pour les champs de vecteurs homogènes

Un domaine parabolique pour un champ de vecteurs homogène dans ${\mathbb C}^2$ est un ouvert connexe maximal tel que toute trajectoire en temps réel issu d'un point de cet ouvert converge vers l'origine. On dit que le domaine est spiralant si les trajectoires ne convergent par vers l'origine tangentiellement à une direction complexe (autrement dit, si le projeté de le trajectoire dans ${\mathbb P}^1({\mathbb C})$ ne converge pas vers un point). Nous donnerons des exemples de champs de vecteurs homogène dans ${\mathbb C}^2$ admettant une infinité de domaines spiralants.

Orateur: Xavier Buff (Institut de Mathématiques de Toulouse)

mardi 11 juillet

4 Surfaces de translation de A à Z

Dans cet exposé, après avoir présenté les surfaces de translation et leurs espaces de modules, je donnerai un aperçu des questions de géométrie et dynamique que l'on étudie dans ce domaine, celles que l'on sait traiter et celles qui sont encore ouvertes. Concernant l'aspect dynamique, je donnerai quelques motivations, ainsi qu'une idée des techniques et outils utilisés.

Orateur: Elise Goujard

10:00 Pause Café

5 Systoles relatives dans des surfaces de translations

Dans une surface de translation la systole relative est la longueur de la plus petite connexion de selle. Dans cette exposé, on va s’intéresser aux maximums globaux et locaux de la fonction Sys sur une strate de surfaces de translation d'aire 1. Ces questions sont aussi en lien avec le nombre maximal de connexions de selle les plus courtes. C'est un travail en commun avec Corentin Boissy.

Orateur: Slavyana Geninska

12:00 Déjeuner au restaurant l'Esplanade

6 L'existence des trajectoires périodiques issues d'un point donné sur une surface de translation

Soient $X$ une surface de translation et $p$ un point régulier sur $X$. Dans cet exposé nous nous intéresserons à la question suivante: existe-t-il une (des) trajectoire(s) périodique(s) de $X$ issue(s) de $p$ ? Nous verrons comment la réponse à cette question peut être reliée à l'action de ${\rm SL}(2,{\mathbb R})$ sur l'espace de modules de surfaces de translation. En utilisant des résultats récents d'Eskin-Filip-Wright et d'Apisa, nous sommes en mesure de donner des réponses précises à cette question dans certains cas. Il s'agit d'un travail en commun avec Huiping Pan et Weixu Su.

Orateur: Duc-Manh Nguyen

mercredi 12 juillet

7 Parabolic dynamics in dimension 2

In this talk I will give an overview of the known results and of the questions concerning the local dynamics of germs tangent to the identity at a fixed point and how to use them to get information on global dynamics.

Orateur: Jasmin Raissy

10:00 Pause Café

8 Some remarks on non-degenerate characteristic directions

Characteristic directions of a tangent to the identity biholomorphism $F$ in ${\mathbb C}^n$ are the only possible directions of tangency of an attracting orbit. Écalle and Hakim proved that every characteristic direction which satisfies a non-degeneracy assumption supports a parabolic curve, i.e. a 1-dimensional stable manifold for $F$ with 0 in its boundary; these parabolic curves can be seen as analytic sectorial realizations of a formal invariant object, which can be either a power series or a Dulac series. We will see how one could generalize Hakim's construction to obtain parabolic curves attached to more general formal invariant objects. This is a (very early stage) work in progress in collaboration with José Cano and Sergio Carrillo.

Orateur: Lorena Lopez-Hernanz

12:00 Déjeuner au restaurant l'Esplanade

9 Local dynamics of skew-products tangent to the identity

The results we will present in this talk deal with local dynamics of skew-products $P$ with a (non-degenerate) tangent to the identity fixed point at the origin. We will give an explicit sufficient condition on its coefficients for $P$ to have wandering Fatou components. In particular, we will see that the dynamics of quadratic maps of the form $(z,w)\mapsto (z-z^2,w+w^2+bz^2)$ is surprisingly rich: under an explicit arithmetic condition on $b$, these maps have an infinity of grand orbits of wandering Fatou components, all of which admit non-constant limit maps. The main technical result is a parabolic implosion-type theorem, in which the renormalization limits that appear are different from previously known cases.

Travail en collaboration avec Luka Boc Thaler

Orateur: Matthieu Astorg

jeudi 13 juillet

10 Dynamique des surfaces affines complexes (1)

Une surface affine complexe est une surface réelle munie d'un atlas dont les changements de cartes sont des applications affines (de la forme $f(z) =az +b$). La trace des droites dans le plan complexe sur une telle surface définit un feuilletage sur le fibré unitaire tangent d'une telle surface; l'étude de la dynamique de ce feuilletage sera l'objet d'étude principal de ce mini-cours.

Séance 1 (Guillaume Tahar) Définitions, exemples et espaces de modules
Séance 2 (Adrien Boulanger) Dynamique du feuilletage géodésique, exemples et restrictions
Séance 3 (Selim Ghazouani) Description conjecturale la dynamique du feuilletage d'une surface générique, problèmes ouverts

Orateur: Guillaume Tahar

10:00 Pause Café

11 Dynamique des surfaces affines complexes (2)

Une surface affine complexe est une surface réelle munie d'un atlas dont les changements de cartes sont des applications affines (de la forme $f(z) =az +b$). La trace des droites dans le plan complexe sur une telle surface définit un feuilletage sur le fibré unitaire tangent d'une telle surface; l'étude de la dynamique de ce feuilletage sera l'objet d'étude principal de ce mini-cours.

Séance 1 (Guillaume Tahar) Définitions, exemples et espaces de modules
Séance 2 (Adrien Boulanger) Dynamique du feuilletage géodésique, exemples et restrictions
Séance 3 (Selim Ghazouani) Description conjecturale la dynamique du feuilletage d'une surface générique, problèmes ouverts

Orateur: Adrien Boulanger

12:00 Déjeuner au restaurant l'Esplanade

12 Dynamique des surfaces affines complexes (3)

Une surface affine complexe est une surface réelle munie d'un atlas dont les changements de cartes sont des applications affines (de la forme $f(z) =az +b$). La trace des droites dans le plan complexe sur une telle surface définit un feuilletage sur le fibré unitaire tangent d'une telle surface; l'étude de la dynamique de ce feuilletage sera l'objet d'étude principal de ce mini-cours.

Séance 1 (Guillaume Tahar) Définitions, exemples et espaces de modules
Séance 2 (Adrien Boulanger) Dynamique du feuilletage géodésique, exemples et restrictions
Séance 3 (Selim Ghazouani) Description conjecturale la dynamique du feuilletage d'une surface générique, problèmes ouverts

Orateur: Selim Ghazouani