Journées mathématiques X-UPS

Europe/Paris
Amphithéâtre Painlevé (École polytechnique)

Amphithéâtre Painlevé

École polytechnique

91128 Palaiseau RER B station Lozère
Description

                 Promenades dans le monde non archimédien

                                      Journées mathématiques X-UPS 2023

Conférenciers

Organisateurs scientifiques

Présentation du thème

Cette session des Journées X-UPS nous fait voyager dans le monde non archimédien et nous fait découvrir son étrangeté, ses paysages arborescents, et son efficacité pour la résolution de questions posées dans le cadre archimédien. Inventés par Kurt Hensel à la toute fin du 19ème siècle sur le modèle des séries en une indéterminée, les nombres p-adiques sont devenus non seulement un outil indispensable de l'arithmétique contemporaine, mais un sujet d'étude en soi. Du point de vue arithmétique, l’ensemble des nombres p-adiques apparaît aussi naturel que celui des nombres réels ou complexes, mais leurs profondes différences topologiques s’opposent au développement d'une géométrie p-adique suivant les pas de la géométrie classique. Cependant, une construction de Berkovich met en évidence les points de convergence et de divergence avec le paysage complexe. L'intérêt des nombres p-adiques est illustré par une propriété des suites récurrentes de nombres rationnels, dont les seules démonstrations connues utilisent toutes quelques rudiments d’analyse p-adique.

Présentation des journées

Les journées mathématiques X-UPS sont un stage de formation organisé par le Centre de mathématiques Laurent Schwartz de l'École polytechnique à l'intention des professeurs des classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques.    
Elles se tiennent tous les ans au printemps. L'inscription est gratuite mais obligatoire.    
L'objectif est double : d'une part satisfaire l'intérêt des professeurs pour l'actualité de la recherche en mathématiques et en informatique, d'autre part leur apporter des connaissances utilisables dans leur enseignement.    
Le stage comporte six ou sept conférences éventuellement accompagnées de démonstrations ou de travaux pratiques sur ordinateur. Nous souhaitons une participation active des stagiaires sous forme de discussion et questions aux conférenciers.

Participants
  • Alexandre Godard
  • Alexandre Goyer
  • Alin Bostan
  • Alonso Beaumont Llona
  • Anne-Laure Biolley
  • Carine Apparicio
  • Clément de Seguins Pazzis
  • Cécile Mammez
  • David Jondreville
  • Denis Choimet
  • Denis Petrequin
  • Emmanuelle Tosel
  • Enrique Munoz
  • Eric Le Nagard
  • Eric Pichon-Pharabod
  • Gabriel Ribeiro
  • Gentiana Danila
  • Guillaume Bulteau
  • Guy Barat
  • Guy Chassé
  • Hadrien Notarantonio
  • Hervé Pépin
  • Jean Guégand
  • Jean Nougayrède
  • Jean-Christophe Léger
  • Joël Nguetoum
  • Jérôme Levie
  • Laurent Chaumard
  • Laurent Pater
  • Luc Abergel
  • Manh Linh Nguyen
  • Marc Rezzouk
  • Marc Tenti
  • Maxime Bourrigan
  • Michel Scotto
  • Michel Sortais
  • Najette Mahdjoub
  • Nicolas Martin
  • Nicolas Tosel
  • Olivier Bouverot
  • Philippe Fontaine
  • Philippe Patte
  • Pierre Cornilleau
  • Rached Mneimné
  • Roberto Pinciroli
  • Salhi Naoufel
  • Serge Dupont
  • Serge Varjabedian
  • Stéphanie Brugère
  • Thibaud Lemanissier
  • Thierry Galmiche
  • Thomas de La Rochefoucauld
  • Vincent Pit
  • Willy Payet
  • Xavier Siefridt
  • Yassine Amzil
  • Yves Duval
    • 10:00 11:00
      Café d'accueil 1h
    • 11:00 12:00
      Balade newtonienne entre analyse et arithmétique (1) 1h

      Inventés par Kurt Hensel à la toute fin du 19e siècle sur le modèle des séries en une indéterminée, les nombres p-adiques sont devenus non seulement un outil indispensable de l'arithmétique contemporaine, mais un sujet d'étude en soi. Dans ces deux exposés, j'expliquerai leur construction, comment ils s'insèrent dans un cadre plus vaste, entre analyse et arithmétique, où deux constructions portant le nom d'Isaac Newton jouent un rôle central : la méthode de Newton et la notion de polygone de Newton.

      Orateur: Antoine Chambert-Loir
    • 12:00 12:30
      Discussion - Pause 30m
    • 12:30 14:30
      Déjeuner 2h
    • 14:30 15:30
      Nombres complexes, nombres p-adiques : à la croisée des chemins (1) 1h

      Du point de vue arithmétique, l’ensemble des nombres p-adiques apparaît aussi naturel que celui des nombres réels ou complexes, mais leurs profondes différences topologiques s’opposent au développement d'une géométrie p-adique suivant les pas de la géométrie classique. À la fin des années 1980, Vladimir Berkovich a défini des espaces contenant les nombres p-adiques (ou les séries de Laurent, ou tout autre corps ultramétrique donné) et permis, dans une large mesure, de rétablir le parallélisme espéré entre routes archimédienne et non archimédienne. Je présenterai la construction de Berkovich en insistant sur les points de convergence et de divergence avec le paysage complexe. Pour finir, je détaillerai une application à la dynamique des polynômes complexes bivariés, due à Charles Favre et Mattias Jonsson.

      Orateur: Jérôme Poineau
    • 15:30 16:00
      Discussion - Pause 30m
    • 16:00 17:00
      Arithméticité des temps de passage (1) 1h

      En 1933, Skolem a démontré le résultat suivant : si (u_n) est une suite de nombres rationnels définie par une relation de récurrence linéaire, l’ensemble des indices n en lesquels u_n s’annule est une union finie de progressions arithmétiques. Ce théorème a été étendu aux suites de nombres complexes, plutôt que rationnels, par Mahler et Lech. Nous disposons aujourd’hui de résultats plus généraux concernant certaines suites définies par des relations de récurrences polynomiales. De manière surprenante, les seules démonstrations connues utilisent toutes quelques rudiments d’analyse p-adique. Je décrirai ce type de résultats et leur démonstration; ils font maintenant partie d’un thème en plein essor, la dynamique arithmétique.

      Orateur: Serge Cantat
    • 09:30 10:30
      Balade newtonienne entre analyse et arithmétique (2) 1h

      Inventés par Kurt Hensel à la toute fin du 19e siècle sur le modèle des séries en une indéterminée, les nombres p-adiques sont devenus non seulement un outil indispensable de l'arithmétique contemporaine, mais un sujet d'étude en soi. Dans ces deux exposés, j'expliquerai leur construction, comment ils s'insèrent dans un cadre plus vaste, entre analyse et arithmétique, où deux constructions portant le nom d'Isaac Newton jouent un rôle central : la méthode de Newton et la notion de polygone de Newton.

      Orateur: Antoine Chambert-Loir
    • 10:30 11:00
      Discussion - Pause 30m
    • 11:00 12:00
      Arithméticité des temps de passage (2) 1h

      En 1933, Skolem a démontré le résultat suivant : si (u_n) est une suite de nombres rationnels définie par une relation de récurrence linéaire, l’ensemble des indices n en lesquels u_n s’annule est une union finie de progressions arithmétiques. Ce théorème a été étendu aux suites de nombres complexes, plutôt que rationnels, par Mahler et Lech. Nous disposons aujourd’hui de résultats plus généraux concernant certaines suites définies par des relations de récurrences polynomiales. De manière surprenante, les seules démonstrations connues utilisent toutes quelques rudiments d’analyse p-adique. Je décrirai ce type de résultats et leur démonstration; ils font maintenant partie d’un thème en plein essor, la dynamique arithmétique.

      Orateur: Serge Cantat
    • 12:00 12:30
      Discussion - Pause 30m
    • 12:30 14:00
      Déjeuner 1h 30m
    • 14:00 15:00
      Nombres complexes, nombres p-adiques : à la croisée des chemins (2) 1h

      Du point de vue arithmétique, l’ensemble des nombres p-adiques apparaît aussi naturel que celui des nombres réels ou complexes, mais leurs profondes différences topologiques s’opposent au développement d'une géométrie p-adique suivant les pas de la géométrie classique. À la fin des années 1980, Vladimir Berkovich a défini des espaces contenant les nombres p-adiques (ou les séries de Laurent, ou tout autre corps ultramétrique donné) et permis, dans une large mesure, de rétablir le parallélisme espéré entre routes archimédienne et non archimédienne. Je présenterai la construction de Berkovich en insistant sur les points de convergence et de divergence avec le paysage complexe. Pour finir, je détaillerai une application à la dynamique des polynômes complexes bivariés, due à Charles Favre et Mattias Jonsson.

      Orateur: Jérôme Poineau