Journées mathématiques X-UPS

20 avr. 2023, 10:00 → 21 avr. 2023, 16:00 Europe/Paris

Amphithéâtre Painlevé (École polytechnique)

                 Promenades dans le monde non archimédien

                                      Journées mathématiques X-UPS 2023

Conférenciers

• Serge Cantat, CNRS, Université Rennes 1
• Antoine Chambert-Loir, Université Paris Cité
• Jérôme Poineau, Université de Caen Normandie

Organisateurs scientifiques

• Pascale Harinck
• Alain Plagne
• Claude Sabbah

Présentation du thème

Cette session des Journées X-UPS nous fait voyager dans le monde non archimédien et nous fait découvrir son étrangeté, ses paysages arborescents, et son efficacité pour la résolution de questions posées dans le cadre archimédien. Inventés par Kurt Hensel à la toute fin du 19ème siècle sur le modèle des séries en une indéterminée, les nombres p-adiques sont devenus non seulement un outil indispensable de l'arithmétique contemporaine, mais un sujet d'étude en soi. Du point de vue arithmétique, l’ensemble des nombres p-adiques apparaît aussi naturel que celui des nombres réels ou complexes, mais leurs profondes différences topologiques s’opposent au développement d'une géométrie p-adique suivant les pas de la géométrie classique. Cependant, une construction de Berkovich met en évidence les points de convergence et de divergence avec le paysage complexe. L'intérêt des nombres p-adiques est illustré par une propriété des suites récurrentes de nombres rationnels, dont les seules démonstrations connues utilisent toutes quelques rudiments d’analyse p-adique.

Présentation des journées

Les journées mathématiques X-UPS sont un stage de formation organisé par le Centre de mathématiques Laurent Schwartz de l'École polytechnique à l'intention des professeurs des classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques.    
Elles se tiennent tous les ans au printemps. L'inscription est gratuite mais obligatoire.    
L'objectif est double : d'une part satisfaire l'intérêt des professeurs pour l'actualité de la recherche en mathématiques et en informatique, d'autre part leur apporter des connaissances utilisables dans leur enseignement.    
Le stage comporte six ou sept conférences éventuellement accompagnées de démonstrations ou de travaux pratiques sur ordinateur. Nous souhaitons une participation active des stagiaires sous forme de discussion et questions aux conférenciers.

jeudi 20 avril

10:00 Café d'accueil

1 Balade newtonienne entre analyse et arithmétique (1)

Inventés par Kurt Hensel à la toute fin du 19e siècle sur le modèle des séries en une indéterminée, les nombres p-adiques sont devenus non seulement un outil indispensable de l'arithmétique contemporaine, mais un sujet d'étude en soi. Dans ces deux exposés, j'expliquerai leur construction, comment ils s'insèrent dans un cadre plus vaste, entre analyse et arithmétique, où deux constructions portant le nom d'Isaac Newton jouent un rôle central : la méthode de Newton et la notion de polygone de Newton.

Orateur: Antoine Chambert-Loir

chambert-loir23.pdf

12:00 Discussion - Pause

12:30 Déjeuner

2 Nombres complexes, nombres p-adiques : à la croisée des chemins (1)

Du point de vue arithmétique, l’ensemble des nombres p-adiques apparaît aussi naturel que celui des nombres réels ou complexes, mais leurs profondes différences topologiques s’opposent au développement d'une géométrie p-adique suivant les pas de la géométrie classique. À la fin des années 1980, Vladimir Berkovich a défini des espaces contenant les nombres p-adiques (ou les séries de Laurent, ou tout autre corps ultramétrique donné) et permis, dans une large mesure, de rétablir le parallélisme espéré entre routes archimédienne et non archimédienne. Je présenterai la construction de Berkovich en insistant sur les points de convergence et de divergence avec le paysage complexe. Pour finir, je détaillerai une application à la dynamique des polynômes complexes bivariés, due à Charles Favre et Mattias Jonsson.

Orateur: Jérôme Poineau

poineau23.pdf

15:30 Discussion - Pause

3 Arithméticité des temps de passage (1)

En 1933, Skolem a démontré le résultat suivant : si (u_n) est une suite de nombres rationnels définie par une relation de récurrence linéaire, l’ensemble des indices n en lesquels u_n s’annule est une union finie de progressions arithmétiques. Ce théorème a été étendu aux suites de nombres complexes, plutôt que rationnels, par Mahler et Lech. Nous disposons aujourd’hui de résultats plus généraux concernant certaines suites définies par des relations de récurrences polynomiales. De manière surprenante, les seules démonstrations connues utilisent toutes quelques rudiments d’analyse p-adique. Je décrirai ce type de résultats et leur démonstration; ils font maintenant partie d’un thème en plein essor, la dynamique arithmétique.

Orateur: Serge Cantat

cantat23.pdf

vendredi 21 avril

4 Balade newtonienne entre analyse et arithmétique (2)

Inventés par Kurt Hensel à la toute fin du 19e siècle sur le modèle des séries en une indéterminée, les nombres p-adiques sont devenus non seulement un outil indispensable de l'arithmétique contemporaine, mais un sujet d'étude en soi. Dans ces deux exposés, j'expliquerai leur construction, comment ils s'insèrent dans un cadre plus vaste, entre analyse et arithmétique, où deux constructions portant le nom d'Isaac Newton jouent un rôle central : la méthode de Newton et la notion de polygone de Newton.

Orateur: Antoine Chambert-Loir

10:30 Discussion - Pause

5 Arithméticité des temps de passage (2)

En 1933, Skolem a démontré le résultat suivant : si (u_n) est une suite de nombres rationnels définie par une relation de récurrence linéaire, l’ensemble des indices n en lesquels u_n s’annule est une union finie de progressions arithmétiques. Ce théorème a été étendu aux suites de nombres complexes, plutôt que rationnels, par Mahler et Lech. Nous disposons aujourd’hui de résultats plus généraux concernant certaines suites définies par des relations de récurrences polynomiales. De manière surprenante, les seules démonstrations connues utilisent toutes quelques rudiments d’analyse p-adique. Je décrirai ce type de résultats et leur démonstration; ils font maintenant partie d’un thème en plein essor, la dynamique arithmétique.

Orateur: Serge Cantat

12:00 Discussion - Pause

12:30 Déjeuner

6 Nombres complexes, nombres p-adiques : à la croisée des chemins (2)

Du point de vue arithmétique, l’ensemble des nombres p-adiques apparaît aussi naturel que celui des nombres réels ou complexes, mais leurs profondes différences topologiques s’opposent au développement d'une géométrie p-adique suivant les pas de la géométrie classique. À la fin des années 1980, Vladimir Berkovich a défini des espaces contenant les nombres p-adiques (ou les séries de Laurent, ou tout autre corps ultramétrique donné) et permis, dans une large mesure, de rétablir le parallélisme espéré entre routes archimédienne et non archimédienne. Je présenterai la construction de Berkovich en insistant sur les points de convergence et de divergence avec le paysage complexe. Pour finir, je détaillerai une application à la dynamique des polynômes complexes bivariés, due à Charles Favre et Mattias Jonsson.

Orateur: Jérôme Poineau