Modélisation mathématique des vagues

• David Lannes (CNRS, Institut de Mathématiques de Bordeaux)

Cet exposé présentera quelques problèmes mathématiques issus de la modélisation des vagues. Après un bref rappel historique nous présenterons plusieurs approches mathématiques (basées sur l'analyse complexe, l'analyse harmonique, la géométrie etc.). Nous montrerons en particulier comment ce problème à frontière libre (le domaine dans lequel la solution vit est lui-même une inconnue du problème) peut se réduire à un système d'équations d'évolution standard. Enfin, nous expliquerons comment décrire les solutions à l'aide de modèles plus simples utilisés en océanographie pour la simulation numérique des écoulements côtiers. Nous évoquerons également quelques problèmes mathématiques ouverts soulevés par ces problématiques physiques.

Algèbres de Hopf combinatoires

• Cécile Mammez (Université du Littoral)

Une algèbre de Hopf est un espace vectoriel muni d'une structure de bigèbre (ie d'algèbre et de cogèbre avec une propriété de compatibilité supplémentaire) et possédant une application particulière appelée antipode. Dans le cas d'un espace gradué et connexe, la condition d'existence de l'antipode est automatique. Dans cet exposé, on expliquera la notion d'algèbre de Hopf graduée connexe par l'intermédiaire d'un exemple classique que sont les algèbres de battages. On présentera par la suite une algèbre de mots tassés, introduite par G.H.E. Duchamp, N. Hoang-Nghia et A. Tanasa et notée **WMat**, ainsi qu'une algèbre de diagrammes de dissection introduite par C. Dupont et notée *D*.

Opérateurs de composition, critères géométriques

• Loïc Gaillard (Université d'Artois)

Les opérateurs de composition $C_{\Phi}$ sont les application linéaires du type $f\mapsto f\circ\Phi$, définies sur des espaces de fonctions. En choisissant bien de tels espaces (normés) et de telles applications $\Phi$, on peut se poser des questions d'analyse fonctionnelle : continuité, compacité, ... des opérateurs de compositions. Nous verrons, dans le cadre des espaces de Hardy, puis des espaces de Müntz (dont on rappellera les définitions) comment des propriétés géométriques du symbole $\Phi$ peuvent parfois influer sur les propriétés topologiques de l'opérateur de composition $C_{\Phi}$.

Descente de Cartier et µp-torseurs

• Mohamed Rafik Mammeri (Université Lille 1)

Un théorème de Cartier sur la descente par Frobenius permet d’avoir une équivalence entre faisceaux quasi-cohérents munis d’une connexion intégrable de p-courbure nulle sur une variété X, lisse sur un corps parfait de caractéristique p > 0, et faisceaux quasi-cohérents sur une variété X^(p) obtenue par changement de base à partir de X. Dans cet exposé on fera une courte introduction à la théorie de la descente, qui est intuitivement une généralisation de la notion de recollement en topologie, puis on verra comment la descente de Cartier nous permet de voir d’une autre manière un théorème de Schmitt-Witt qui caractérise les µp-torseurs en termes de différentielles premières.

Invariants cohomologiques de degré 3

• Jean-Pierre Tignol (Université Catholique de Louvain)

La notion d’invariant cohomologique pour les formes quadratiques comprend les constructions classiques de discriminant et d’algèbre de Clifford. Grâce à la solution de la conjecture de Milnor par Voevodsky, ces constructions ont pu être étendues en tout degré pour obtenir une classification complète des formes quadratiques. Après une description de cette classification, l’exposé explorera la possibilité de définir des invariants cohomologiques pour d’autres types d’objets, notamment pour les formes hermitiennes vues comme des versions tordues de formes quadratiques. On verra qu’en degré 3 une construction due à Rost fournit un cadre général pour développer de nouveaux invariants.

Champs aléatoires stables harmonisables à accroissements stationnaires : comportement trajectoriel et densité spectrale

• Geoffrey Boutard (Université Lille 1)

De nombreuses méthodes ont été développées, depuis longtemps, en vue d’étudier le comportement trajectoriel de champs gaussiens. Souvent ces méthodes sont difficilement transposables dans un cadre de lois de probabilité à queue lourde comme celui des lois stables. Par exemple, le théorème bien connu de continuité de Kolmogorov devient nettement moins efficace dans ce cadre à cause, entre autres, de l’infinitude des moments. Des méthodes nouvelles, reposant sur des représentations en séries aléatoires du type ondelettes se sont déjà avérées efficaces dans l’étude d’un exemple classique de champs aléatoires à queue lourde : le drap brownien fractionnaire stable linéaire (DFSL). Dans cet exposé nous nous proposons de tester cette nouvelle méthodologie par ondelettes dans le cadre très général de lois à queue lourde qui est significativement différent du DFSL. Plus précisément, nous nous intéressons aux champs aléatoires $\alpha$-stables harmonisables $X =\{X(t), t \in \mathbb{R}^d\}$ définis pour tout $t \in \mathbb{R}^d $ par : $$ X(t) = \Re \large\{ \displaystyle \int_{\mathbb{R}^d} (e^{it \cdot \xi} -1 ) f(\xi) d\tilde{M}_\alpha (\xi) \large\}, $$ où f désigne une fonction arbitraire de l’espace $L^\alpha (\mathbb{R}^d, 1 \wedge \|\xi\|^\alpha d\xi) $, avec cependant un certain contrôle aux hautes et basses fréquences. Les deux principaux objectifs de notre exposé sont les suivants. (a) Établir des liens entre le comportement local (module de continuité) des accroissements de X (y compris les éventuelles propriétés de différentiabilités ou dérivabilités partielles) et la vitesse de décroissance à l’infini de f, le long de chacun des axes canoniques de $\mathbb{R}^d$ . Nous nous intéressons à la fois aux accroissements habituels et rectangulaires au sens large. (b) Relier le comportement de X à l’infini (loi du logarithme itéré) à celui de f en 0. Les résultats que nous obtenons sont valables sur un événement de probabilité 1 qui est "universel", dans le sens où il ne dépend pas de f.

Structures à puissances divisées

• Andrea Cesaro (Université Lille 1)

Le but de cet exposé sera d’expliquer la construction de structures à puissances divisées qui apparaissent naturellement quand on travaille en dehors du cadre de la caractéristique nulle. La définition de ces structures à puissances divisées se base sur la notion d’algèbre à symétries divisées introduite par B. Fresse dans le contexte des opérades afin de généraliser des opérations définies par H. Cartan.

Les nombres premiers et la fonction zêta, l'approche analytique

• Florian Daval (Université Lille 1)

Après avoir rappelé ce qu'est la fonction zêta de Riemann, cet exposé présentera quelques idées directrices qui donnent des renseignements (des théorèmes !), sur les nombres premiers à partir de cette fonction et de ses dérivées. Notamment celui-là : la proportion de nombres premiers dans l'intervalle [1,N] est égale à 1/ln N plus une petite quantité qui tend vers 0 quand N tend vers l'infini. Nous finirons par regarder une des multiples facettes de l'hypothèse de Riemann : la fonction de Moebius et sa fonction sommatoire. Toutes les notions nouvelles seront données et ça sera pour moi l'occasion de vous présenter une des thématiques de ma thèse.