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v3.2.9
Cet exposé étudie les liens entre la dynamique différentielle des variétés fermées (=compactes sans bord) et la dynamique symbolique de leurs groupes fondamentaux. Nous commencerons avec: Conjecture A. Soit M une variété fermées, de groupe fondamental G, munie d'un difféomorphisme d'Anosov. Il existe alors un alphabet fini A et une action auto-similaire de G sur l'arbre A* telle que l'action induite sur son bord soit libre et minimale. Nous prouverons le cas particulier suivant Théorème A. Si M est homéomorphe a une infra-nilmanifold, la conjecture A est vraie. La conjecture A est donc une conséquence de la conjecture classique d'Anosov-Smale. Cependant cette conjecture semble trés difficile, et nous expliquerons ensuite une version du théorème A avec une hypothèse beaucoup plus faible. Le point restant pour prouver la Conjecture A en toute généralité me semble abordable, en particulier pour de "vrais" géometres. Je n'aurais sans doute pas le temps d'expliquer la conjecture B et le théorème B, qui portent sur l'existence de structures affines. Les preuves sont longues, et constituent un mélange d'idées élémentaires de domaines mathématiques tres variés. C'est pourquoi, les notions introduites seront décrites avec soin.