Séminaire de Géométrie, Groupes et Dynamique

Alain Valette: "Aspects arithmétiques des groupes de Baumslag-Solitar résolubles"

Europe/Paris
435 (UMPA)

435

UMPA

Description

Pour un groupe G résiduellement fini et de type fini, un box space de G est une suite $(X_k)_k$ de graphes de Cayley de quotients finis de G, pour une suite décroissante de sous-groupes normaux d'indice fini, d'intersection triviale. Pour $0<\alpha\leq 1$, un box space a la propriété $D_\alpha$ si le diamètre de $X_k$ est au moins de l'ordre de $|X_k|^\alpha$. On sait que si G se surjecte sur $Z$, alors pour tout $\alpha<1$ il existe un box space qui vérifie $D_\alpha$. Ceci s'applique en particulier au groupe de Baumslag-Solitar $BS(1,m) = Z[1/m]  Z$ avec $m\geq 2$. En réalisant BS(1,m) comme sous-groupe de $GL_2(Z[1/m])$, on peut intersecter avec des sous-groupes de congruence et obtenir des box spaces de BS(1,m) qui méritent d'être appelés box spaces arithmétiques. En collaboration avec Laurent Hayez et Tom Kaiser, nous montrons:

1) Si un box space arithmétique a $D_\alpha$, alors $\alpha\leq 1/2$.

2) Si la suite d'entiers qui définit les sous-groupes de congruence est supportée sur un ensemble fini de nombres premiers, le box space arithmétique correspondant a $D_{1/2}$.

3) Il existe des box spaces arithmétiques qui n'ont la propriété $D_\alpha$ pour aucune valeur de $\alpha$.