Simon Allais: "Periodic points of Hamiltonian diffeomorphisms and generating functions"

mercredi 13 janv. 2021, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

435 (UMPA)

Ginzburg et Gürel montrèrent récemment que tout difféomorphisme hamiltonien de l'espace projectif complexe CP^d ayant un point périodique hyperbolique admet une infinité de points périodiques tandis que les points fixes des pseudo-rotations sont des ensembles isolées comme ensembles invariants. En 2019, Shelukhin démontra une version homologique de la conjecture de Hofer-Zehnder valable pour une large classe de variétés symplectiques M incluant CP^d : un difféomorphisme hamiltonien avec plus de points fixes homologiquement visibles que la dimension de l'homologie de M en possède une infinité. Les démonstrations de ces résultats exploitent de façon essentielle la structure « quantique » de l’homologie de Floer.

Le but de cet exposé est d'expliquer comment l’étude de sous-niveaux de fonctions génératrices permet de s'affranchir de la théorie J-holomorphe dans l’étude des points périodiques de difféomorphismes hamiltoniens de CP^d, en nous basant sur des idées développées par Givental puis Théret dans les années 90.

 

 

Ginzburg and Gürel recently showed that a hamiltonian diffeomorphism of CP^d a hyperbolic periodic point have infinitely many periodic points whereas fixed points of a pseudo-rotation are isolated as an invariant set. In 2019, Shelukhin proved a homology version of the Hofer-Zehnder conjecture in a large class of symplectic manifolds M that includes CP^d: a Hamiltonian diffeomorphism with more homologically visible fixed points than the dimension of the homology of M has infinitely many periodic points. These results rely on the quantum structure of the Floer homology.

In this talk, I will explain how the study of sublevel sets of generating functions can replace the use of J-holomorphic curves and Floer theory in the study of periodic points of CP^d, based on ideas of Givental and Théret in the 90s.