Alain Valette: "Aspects arithmétiques des groupes de Baumslag-Solitar résolubles"

mercredi 16 déc. 2020, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

435 (UMPA)

Pour un groupe G résiduellement fini et de type fini, un box space de G est une suite $(X_k{)}_k$ de graphes de Cayley de quotients finis de G, pour une suite décroissante de sous-groupes normaux d'indice fini, d'intersection triviale. Pour $0<\alpha \le 1$, un box space a la propriété $D_{\alpha }$ si le diamètre de $X_k$ est au moins de l'ordre de $|X_k{|}^{\alpha }$. On sait que si G se surjecte sur $Z$, alors pour tout $\alpha <1$ il existe un box space qui vérifie $D_{\alpha }$. Ceci s'applique en particulier au groupe de Baumslag-Solitar $BS(1,m)=Z[1/m]Z$ avec $m\ge 2$. En réalisant BS(1,m) comme sous-groupe de $G{L}_2(Z[1/m])$, on peut intersecter avec des sous-groupes de congruence et obtenir des box spaces de BS(1,m) qui méritent d'être appelés box spaces arithmétiques. En collaboration avec Laurent Hayez et Tom Kaiser, nous montrons:

1) Si un box space arithmétique a $D_{\alpha }$, alors $\alpha \le 1/2$.

2) Si la suite d'entiers qui définit les sous-groupes de congruence est supportée sur un ensemble fini de nombres premiers, le box space arithmétique correspondant a $D_{1/2}$.

3) Il existe des box spaces arithmétiques qui n'ont la propriété $D_{\alpha }$ pour aucune valeur de $\alpha$.