Séminaire de Probabilités commun ICJ/UMPA

Classes d'universalités et équations de Painlevé

by Mattia Cafasso

Europe/Paris
Fokko du Cloux (ICJ, La Doua)

Fokko du Cloux

ICJ, La Doua

Description
Il est bien connu que la distribution de Tracy-Widom, décrivant la position de la plus grande valeur propre d'une matrice aléatoire, peut être écrite en fonction d'une solution particulière de la deuxième équation de Painlevé. En 2005, Baik, Ben Arous et Péché ont prouvé que cette distribution est l'exemple le plus simple d'un ensemble plus vaste de distributions (classes d'universalités) obtenues par ''perturbations rationnelles'' à partir de la distribution originaire de Tracy-Widom. Dans mon exposé, j'expliquerai comment on peut relier, via des outils classiques de la théorie des systèmes intégrables, les distributions de Baik-Ben Arous-Péché à la théorie des équations de Painlevé et, plus généralement, à la théorie des déformations isomonodromiques. La méthode que je décrirai est très générale et s'applique à d'autres exemples intéressants de distributions provenant, par exemple, de la théorie des mouvements Brownien de Dyson. Si le temps le permet, j'aborderai aussi les lignes principales d'un nouveau projet concernant la distribution conjointe des moments de $N$ particules fermioniques. À noter que les outils abordés de la théorie des déformations isomonodromiques seront expliqués et ne nécessitent pas des connaissances pré-requises. Les résultats ont été obtenus en collaboration avec M. Bertola.
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