Il est bien connu que la distribution de Tracy-Widom,
décrivant la position de la plus grande valeur propre d'une matrice
aléatoire, peut être écrite en fonction d'une solution particulière de
la deuxième équation de Painlevé. En 2005, Baik, Ben Arous et Péché
ont prouvé que cette distribution est l'exemple le plus simple d'un
ensemble plus vaste de distributions (classes d'universalités)
obtenues par ''perturbations rationnelles'' à partir de la
distribution originaire de Tracy-Widom. Dans mon exposé, j'expliquerai
comment on peut relier, via des outils classiques de la théorie des
systèmes intégrables, les distributions de Baik-Ben Arous-Péché à la
théorie des équations de Painlevé et, plus généralement, à la théorie
des déformations isomonodromiques. La méthode que je décrirai est très
générale et s'applique à d'autres exemples intéressants de
distributions provenant, par exemple, de la théorie des mouvements
Brownien de Dyson. Si le temps le permet, j'aborderai aussi les lignes
principales
d'un nouveau projet concernant la distribution conjointe des moments de $N$
particules fermioniques.
À noter que les outils abordés de la théorie des
déformations isomonodromiques seront expliqués et ne nécessitent pas
des connaissances pré-requises. Les résultats ont été obtenus en
collaboration avec M. Bertola.