Sara Checcoli (Université Grenoble Alpes, Institut Fourier)
Titre : Quelques problèmes sur les points algébriques de petite hauteur
Résumé :
À chaque nombre algébrique $alpha$, on peut associer sa hauteur (logarithmique de Weil) $h(alpha)$, un nombre réel supérieur ou égal à 0 qui mesure la ‘complexité arithmétique’ de $alpha$. Le théorème de Northcott dit que tout ensemble de nombres algébriques de degré et hauteur bornés est fini. Cela fait de la hauteur (et ses variantes/généralisations) un outil très important en géométrie
diophantienne : pour montrer la finitude d’un certain ensemble de points (par exemple, des points rationnels sur une variété), on essaye souvent de borner leur degré et leur hauteur.
Dans ce mini-cours, on étudiera certains problèmes liés aux points algébriques de hauteur ‘petite’ et, en particulier, les propriétés de Northcott (N) et Bogomolov (B), introduites par Bombieri et Zannier en 2001. Un ensemble K de nombres algébriques satisfait la propriété (N) s’il contient un nombre fini de points de hauteur bornée ; on dit qu’il satisfait la propriété (B) si 0 n’est pas un point d’accumulation pour les valeurs de la hauteur de ses points. Le théorème de Northcott implique facilement que tout corps de nombres satisfait les deux propriétés, mais pour un corps de nombres algébriques de degré infini sur $mathbb{Q}$, décider la validité de (N) ou (B) est un problème en général difficile et étudié par plusieurs auteurs. Le but du mini-cours est de donner un aperçu des résultats connus sur ces questions et quelques problèmes ouverts.
Ariane Mézard (Université Paris 6, Institut de Mathématiques de Jussieu Paris Rive Gauche)
Titre : Déformations de représentations galoisiennes : approches et questions ouvertes
Résumé :
La théorie des déformations de représentations galoisiennes a été introduite par Barry Mazur et utilisée par Andrew Wiles il y a une vingtaine pour démonter le théorème de Fermat. Elle permet de donner une approche géométrique à des problèmes de nature arithmétique et ouvre la voie vers des correspondances entre des représentations galoisiennes et des représentations de groupes réductifs.
Dans ce cours introductif, nous présenterons la théorie locale des déformations - en théorie de Hodge p-adique - et quelques questions ouvertes qui y sont associées, liées au programme de Langlands local p-adique.
Alena Pirutka (Courant Institute of Mathematical Sciences)
Titre : Problèmes de rationalité
Résumé :
Une variété X sur un corps k est rationnelle si un ouvert de X est isomorphe a un ouvert d'un espace projectif, autrement dit, si son corps des fractions est une extension purement transcendente du corps de base. En partant de ce point de vue algébrique, on étudiera plusieurs invariants qui viennent de la cohomologie galoisienne du corps des fractions de la variété X - les groupes de la cohomologie non ramifiée. On discutera des applications pour établir que certaines variétés ne sont pas rationnelles.
