Les cours proposés seront les suivants :
- Applications de la théorie élémentaire des nombres à la cryptographie
par Alain Togbé (Purdue University Northwest, États-Unis).
Résumé - Fonctions génératrices et applications
par Fanja Rakotondrajao (Université d'Antananarivo, Madagascar).
Résumé - Les courbes elliptiques et leur arithmétique
par Francesco Pappalardi (Università Roma Tre, Italie) et Cécile Armana (Université de Franche-Comté, France).
Résumé - Algebraic number theory and Finite fields in connection with coding theory
par Michel Waldschmidt (Université Paris 6, France) et Antoine Kitombole (Université de Kinshasa, RDC)
Résumé - Décompositions polynomiales et quelques algorithmes de factorisation sur les corps finis
par François Tanoé (Université Félix Houphouët Boigny, Abidjan, Côte d'Ivoire).
Résumé - An introduction to curve-based cryptosystems and their security
par Sorina Ionica (Université de Picardie, France).
Résumé
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Résumés des cours :
Applications de la théorie élémentaire des nombres à la cryptographie (6 heures)
Ce cours va utiliser les bases de la théorie élémentaire des nombres pour introduire la cryptographie. Donc la théorie des congruences sera utilisée doucement pour introduire la cryptographie. De l'algorithme de chiffrement César, nous présenterons la cryptographie à clé publique. Nous allons également discuter le cryptosystème “knapsack” (qui est basé sur le problème classique difficile en combinatoire connu comme le “knapsack” problème) et le problème du logarithme discret.
Fonctions génératrices et applications (6 heures)
Ce cours sera basé sur le livre de Herbert Wilf, « Generatingfunctionology ».
- Algorithme pour déterminer la fonction génératrice ordinaire d’une suite quelconque (à un variable ou à deux variables).
- Algorithme pour déterminer la fonction génératrice exponentielle d’ une suite quelconque.
- Quelques applications sur les statistiques classiques.
Les courbes elliptiques et leur arithmétique (9 heures)
Les thèmes qui seront abordés seront : exemples de courbes elliptiques, tracé de courbes elliptiques dans le plan, ensemble des points rationnels d'une courbe elliptique, intersection entre une droite et une courbe elliptique, point à l'infini d'une courbe elliptique, bases de la géométrie projective, points singuliers, loi de groupe, équations de Weierstrass et leur classification, courbes elliptiques sur les corps finis et leurs propriétés, inégalité de Hasse, structure du groupe de points sur les corps finis, endomorphismes de courbes elliptiques, courbes elliptiques à multiplication complexe, théorème de Mordell-Weil, algorithme de Schoof pour compter les points d'une courbe elliptique sur un corps fini, algorithme de Lenstra de factorisation des entiers par les courbes elliptiques.
Algebraic number theory and Finite fields in connection with coding theory (9 heures)
- Review of basic facts on algebraic structures: groups (especially cyclic groups), rings especially Z, Z/nZ, K[X], Z[X]), fields.
- Algebraic number theory. Extension of fields. Steam field of an irreducible polynomial and splitting field of a polynomial. Conjugates of an algebraic element. Example: quadratic fields.
- Finite fields. Frobenius. Existence and unicity.
- Cyclotomic polynomials: decomposition over the complex field, over the field of rational numbers, over a finite field.
- Introduction to coding theory. Cyclic codes.
- Computational aspects in algebraic number theory, in particular regarding the previous topics.
Décompositions polynomiales et quelques algorithmes de factorisation sur les corps finis (6 heures)
- Fonctions arithmétiques ; Formule multiplicative d’inversion de Moebius pour les groupes ; Application à une égalité polynomiale cyclotomique. Arithmétique modulaire : Racines primitives, symbole de Legendre et Jacobi.
- Polynômes irréductibles sur les corps finis, nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré donné sur un corps fini. Critères d’irréductibilités des polynômes sur un corps fini : Test de Rabin, Test de Butler. Détermination de facteurs polynomiaux irréductibles d’un polynôme : Algorithme de Cantor-Zassenhaus et Berlekamp. Aspect calculatoire de l’amélioration du produit polynomial : Algorithme de Karatsuba et DFT.
An introduction to curve-based cryptosystems and their security (6 heures)
In public key cryptography, security relies on problems that are believed to be hard from a computational point of view. One of the most famous of these problems is the discrete logarithm problem on an elliptic curve, or more generally, on an abelian variety. In the first part of the course, we introduce this problem and review algorithms for solving it. Secondly, we will study a less known problem - called the isogeny problem - which allowed recent proposals of schemes considered good candidates for post-quantum cryptography. In both cases, we will study applications such as key exchange and digital signatures.
