Séminaire d'arithmétique à Lyon

Des congruences entre formes automorphes au programme de Langlands mod p

par Stefano Morra (Montpellier)

Europe/Paris
Salle A2 (UMPA, ENS de Lyon)

Salle A2

UMPA, ENS de Lyon

Description
Les congruences entre les coefficients de Fourier des formes cuspidales paraboliques propres ont été remarqué depuis les travaux de Ramanujan au début du XX-ième siecle. Pour retrouver une justification simple à ce comportement il a fallu attendre la vision de J-P. Serre, qui proposait l'existence d'une représentation Galoisienne associée de manière naturelle aux formes modulaires propres. En particulier le \emph{poids} des formes modulaires produisant une congruence (modulo un nombre premier $p$ fixé) devait satisfaire des condition très restrictives : c'est la partie poids des conjectures de Serre sur la modularité des représentations Galoisiennes de dimension 2 sur $\mathbf{Q}$. Ce sujet a depuis connu un développement rapide et éblouissant. Vastes généralisations des conjectures de Serre ont été proposés dans les derniers années, parmi lesquelles la conjecture de Breuil-Mézard géométrique et la conjecture de Breuil cristalline: le \emph{poids} est désormais une représentation algébrique reliant la fibre spéciale des espaces de déformation potentiellement semistables avec une partie des espaces des formes automorphes algébriques pour $U(n)$ avec niveau infini en $p$. Dans cet exposé on donnera une présentation de ces phénomènes et conjectures, en introduisant des techniques nouvelles en théorie de Hodge $p$-adique et théorie de représentation modulaires, permettant la preuve de plusieurs cas de ces conjectures pour $U(3)$. Il s'agit de travaux en commun avec Bao-Viet Le Hung, Daniel Le et Brandon Levin.
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