Journées mathématiques X-UPS

9 mai 2017, 10:00 → 10 mai 2017, 16:00 Europe/Paris

Amphithéâtre Becquerel (École polytechnique)

Une invitation à la théorie géométrique de la mesure :
théorie et applications

Journées mathématiques X-UPS 2017

Conférenciers

• Antoine Lemenant, Université Paris-Diderot - Paris 7 (Paris)
• Hervé Pajot, Université Grenoble Alpes (Grenoble)
• Emmanuel Russ, Université Grenoble Alpes (Grenoble)

Organisateurs scientifiques

• Pascale Harinck
• Alain Plagne
• Claude Sabbah

 

Les journées mathématiques X-UPS sont un stage de formation organisé par le Centre de mathématiques Laurent Schwartz de l'École polytechnique à l'intention des professeurs des classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques.
Elles se tiennent tous les ans au printemps. L'inscription est gratuite mais obligatoire.
L'objectif est double : d'une part satisfaire l'intérêt des professeurs pour l'actualité de la recherche en mathématiques et en informatique, d'autre part leur apporter des connaissances utilisables dans leur enseignement.
Le stage comporte six ou sept conférences éventuellement accompagnées de démonstrations ou de travaux pratiques sur ordinateur. Nous souhaitons une participation active des stagiaires sous forme de discussion et questions aux conférenciers.

mardi 9 mai

10:00 Café d'accueil

1 Inégalités isopérimétrique et isodiamétrique (1)

Le problème isopérimétrique semble remonter à l'Antiquité grecque et une version peut s'énoncer ainsi : parmi toutes les figures planes de même périmètre, quelle est celle dont l'aire est la plus grande ? Il est bien connu que c'est le disque qui maximise l'aire à périmètre fixé, et diverses preuves de ce fait peuvent être données (l'une utilise des séries de Fourier). En d'autres termes, si L est le périmètre et A l'aire de la figure, A est inférieur à P^2/(4π), et cette inégalité devient une égalité si, et seulement si, la figure est un disque. L'inégalité isodiamétrique, quant à elle, affirme que, parmi toutes les figures planes de diamètre fixé, celle qui a l'aire maximale est le disque. Dans cet exposé, on présentera les preuves de ces résultats, ainsi que de leurs extensions en dimension n quelconque, en introduisant le minimum d'objets de théorie géométrique de la mesure nécessaires. Si le temps le permet, on discutera aussi rapidement ces questions dans des contextes géométriques non euclidiens (groupes de Carnot, variétés riemanniennes).

Orateur: Emmanuel Russ (Université Grenoble Alpes)

Texte des exposés (pdf) http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups17-01.pdf

vidéo https://www.youtube.com/watch?v=Zp60zvpA0CI&list=PLrRN3yszYHZkR9vyUeOVkcF6yy4FjgkMn&index=1

12:00 Discussion - Pause

12:30 Déjeuner

2 Problème de Kakeya et ensembles de Besicovitch (1)

En 1917, Kakeya posait le problème suivant : Quelle est l'aire minimale nécessaire pour retourner de 180 degrés une aiguille de longueur 1 ? La réponse donnée par Besicovitch est qu'on peut retourner l'aiguille avec une aire aussi petite que l'on veut ! Ceci est dû au fait qu'il existe des ensembles du plan, appelés ensembles de Besicovitch, qui contiennent une droite dans chaque direction mais qui sont de mesure de Lebesgue nulle. Le but des exposés sera : - de présenter une construction d'un ensemble de Besicovitch à partir de l'ensemble de Cantor 4-coins qui est l'exemple type d'ensemble purement non-rectifiable au sens de la théorie géométrique de la mesure ; - de démontrer qu'un ensemble de Besicovitch est de dimension de Hausdorff 2. Si le temps le permet, on expliquera ce qui se passe en dimensions supérieures (travaux de Bourgain, Tao,...) ainsi que le lien entre le problème de Kakeya et les équations aux dérivées partielles (inégalités de Strichartz pour l'équation des ondes) d'une part et l'analyse harmonique (le problème de restriction pour la transformée de Fourier) d'autre part.

Orateur: Hervé Pajot (Université Grenoble Alpes)

Texte des exposés (pdf) http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups17-02.pdf

vidéo https://www.youtube.com/watch?v=x20I6qegd5I&list=PLrRN3yszYHZkR9vyUeOVkcF6yy4FjgkMn&index=3

15:00 Discussion - Pause

3 Introduction à la fonctionnelle de Mumford-Shah et applications (1)

Le but de cet exposé est de voir comment les outils de théorie de la mesure géométrique interviennent dans l’étude de la fonctionnelle de Mumford-Shah et de ses minimiseurs. Cette fonctionnelle sert à la résolution d’au moins deux problèmes bien concrets: la segmentation d’image (trouver les contours d’une image donnée), et la propagation de fissures en mécanique des milieux continus. Après une courte introduction de la fonctionnelle et de sa minimisation, on mettra en évidence certains problèmes mathématiques difficiles qu’elle soulève, dont notamment la fameuse « conjecture de Mumford-Shah ». On expliquera comment l’espace fonctionnel SBV sert à montrer l’existence d’un minimiseur. Dans une deuxième partie, on présentera une méthode numérique utile en pratique pour calculer un minimiseur approché. Celle-ci est basée sur une approximation dite « par champ de phase » qui est utilisée aussi pour d’autres problèmes d’optimisation (notamment en optimisation de forme comme le problème isopérimétrique, le problème à N-phases, l’énergie de Willmore, etc).

Orateur: Antoine Lemenant (Université Paris-Diderot)

Texte des exposés (pdf) http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups17-03.pdf

vidéo https://www.youtube.com/watch?v=TkOj09UaoKY&list=PLrRN3yszYHZkR9vyUeOVkcF6yy4FjgkMn&index=5

mercredi 10 mai

4 Inégalités isopérimétrique et isodiamétrique (2)

Orateur: Emmanuel Russ (Université Grenoble Alpes)

vidéo https://www.youtube.com/watch?v=wKdcG4qrfv8&list=PLrRN3yszYHZkR9vyUeOVkcF6yy4FjgkMn&index=2

10:30 Discussion - Pause

5 Problème de Kakeya et ensembles de Besicovitch (2)

Orateur: Hervé Pajot (Université Grenoble Alpes)

vidéo https://www.youtube.com/watch?v=l_qZvYc8V0k&list=PLrRN3yszYHZkR9vyUeOVkcF6yy4FjgkMn&index=4

12:00 Discussion - Pause

12:30 Déjeuner

6 Introduction à la fonctionnelle de Mumford-Shah et applications (2)

Orateur: Antoine Lemenant (Université Paris-Diderot)

vidéo https://www.youtube.com/watch?v=k8Ch7S_P1as&list=PLrRN3yszYHZkR9vyUeOVkcF6yy4FjgkMn&index=6