Inégalités isopérimétrique et isodiamétrique (1)

• Emmanuel Russ (Université Grenoble Alpes)

Room: Amphithéâtre Becquerel Le problème isopérimétrique semble remonter à l'Antiquité grecque et une version peut s'énoncer ainsi : parmi toutes les figures planes de même périmètre, quelle est celle dont l'aire est la plus grande ? Il est bien connu que c'est le disque qui maximise l'aire à périmètre fixé, et diverses preuves de ce fait peuvent être données (l'une utilise des séries de Fourier). En d'autres termes, si L est le périmètre et A l'aire de la figure, A est inférieur à P^2/(4π), et cette inégalité devient une égalité si, et seulement si, la figure est un disque. L'inégalité isodiamétrique, quant à elle, affirme que, parmi toutes les figures planes de diamètre fixé, celle qui a l'aire maximale est le disque. Dans cet exposé, on présentera les preuves de ces résultats, ainsi que de leurs extensions en dimension n quelconque, en introduisant le minimum d'objets de théorie géométrique de la mesure nécessaires. Si le temps le permet, on discutera aussi rapidement ces questions dans des contextes géométriques non euclidiens (groupes de Carnot, variétés riemanniennes).

Problème de Kakeya et ensembles de Besicovitch (1)

• Hervé Pajot (Université Grenoble Alpes)

Room: Amphithéâtre Becquerel En 1917, Kakeya posait le problème suivant : Quelle est l'aire minimale nécessaire pour retourner de 180 degrés une aiguille de longueur 1 ? La réponse donnée par Besicovitch est qu'on peut retourner l'aiguille avec une aire aussi petite que l'on veut ! Ceci est dû au fait qu'il existe des ensembles du plan, appelés ensembles de Besicovitch, qui contiennent une droite dans chaque direction mais qui sont de mesure de Lebesgue nulle. Le but des exposés sera : - de présenter une construction d'un ensemble de Besicovitch à partir de l'ensemble de Cantor 4-coins qui est l'exemple type d'ensemble purement non-rectifiable au sens de la théorie géométrique de la mesure ; - de démontrer qu'un ensemble de Besicovitch est de dimension de Hausdorff 2. Si le temps le permet, on expliquera ce qui se passe en dimensions supérieures (travaux de Bourgain, Tao,...) ainsi que le lien entre le problème de Kakeya et les équations aux dérivées partielles (inégalités de Strichartz pour l'équation des ondes) d'une part et l'analyse harmonique (le problème de restriction pour la transformée de Fourier) d'autre part.

Introduction à la fonctionnelle de Mumford-Shah et applications (1)

• Antoine Lemenant (Université Paris-Diderot)

Room: Amphithéâtre Becquerel Le but de cet exposé est de voir comment les outils de théorie de la mesure géométrique interviennent dans l’étude de la fonctionnelle de Mumford-Shah et de ses minimiseurs. Cette fonctionnelle sert à la résolution d’au moins deux problèmes bien concrets: la segmentation d’image (trouver les contours d’une image donnée), et la propagation de fissures en mécanique des milieux continus. Après une courte introduction de la fonctionnelle et de sa minimisation, on mettra en évidence certains problèmes mathématiques difficiles qu’elle soulève, dont notamment la fameuse « conjecture de Mumford-Shah ». On expliquera comment l’espace fonctionnel SBV sert à montrer l’existence d’un minimiseur. Dans une deuxième partie, on présentera une méthode numérique utile en pratique pour calculer un minimiseur approché. Celle-ci est basée sur une approximation dite « par champ de phase » qui est utilisée aussi pour d’autres problèmes d’optimisation (notamment en optimisation de forme comme le problème isopérimétrique, le problème à N-phases, l’énergie de Willmore, etc).

Inégalités isopérimétrique et isodiamétrique (2)

• Emmanuel Russ (Université Grenoble Alpes)

Room: Amphithéâtre Becquerel

Problème de Kakeya et ensembles de Besicovitch (2)

• Hervé Pajot (Université Grenoble Alpes)

Room: Amphithéâtre Becquerel

Introduction à la fonctionnelle de Mumford-Shah et applications (2)

• Antoine Lemenant (Université Paris-Diderot)

Room: Amphithéâtre Becquerel