Géométries combinatoires I

• Omid Amini

Room: Amphithéâtre Becquerel Dans la première partie du cours, nous donnerons quelques repères historiques sur les interactions entre la combinatoire et la géométrie complexe, en mettant particulièrement l’accent sur l’application des propriétés dites de positivité dans des contextes algébriques à la résolution de problèmes combinatoires. Cela inclut notamment la classification des f-vecteurs des polytopes, l’étude des phénomènes de log-concavité en combinatoire et l'exploration de la géométrie des matroïdes. Dans la deuxième partie, nous expliquerons comment mettre en perspective ces liens à travers le développement d'une géométrie complexe pour les espaces exotiques (tropicaux, hybrides, etc.). Les interactions vont alors dans les deux sens, avec l'utilisation également de la combinatoire pour résoudre des problèmes issus de la géométrie complexe.

Algèbre des polytopes et volumes mixtes

• Matthieu Piquerez

Room: Amphithéâtre Becquerel Les volumes des polytopes et de leurs faces sont riches en propriétés : invariant, convexité du volume, polynomialité et log-concavité du volume mixte, caractérisation d'un polytope en fonction du volumes et de la direction de ses facettes, ou de ses arêtes, etc. Certaines de ces propriétés se comprennent mieux en introduisant un objet de toute beauté : l'algèbre des polytopes de McMullen. Pour pousser plus loin l'analyse, il faut étudier les propriétés dites kählériennes de cette algèbre. On peut les voir comme des propriétés de convexités algébriques. Cela nous permettra par exemple de retrouver des résultats importants comme les inégalités sur les volumes d'Alexandrov-Fenchel ou de Brunn-Minkowski. Ces propriétés kählériennes étaient initialement l'objet d'étude de la théorie de Hodge en géométrie complexe. Cette théorie est désormais appliquées dans de nombreuses autres branches des mathématiques, comme ici en combinatoire, mais aussi en algorithmique ou dans l'étude de géométries plus exotiques.

Applications en informatique théorique : algorithmique des matroides

• Arnaud de Mesmay

Room: Amphithéâtre Becquerel L'objectif de ce cours est de faire découvrir un pendant algorithmique des résultats présentés dans les cours d'Omid Amini et Mathieu Piquerez en théorie des matroïdes, en nous concentrant sur des algorithmes récents d'Anari, Liu, Oveis Gharan et Vinzant permettant de compter et d'échantillonner de façon très efficace des bases de matroïdes. Nous commençons par un survol des enjeux de la théorie des matroïdes en informatique théorique, qui permettent de généraliser le cadre désormais très bien compris des graphes à des contextes plus larges. Nous introduisons ensuite les polynômes log-concaves (également connus sous le nom de polynômes Lorentziens dans les travaux de Branden et Huh), dont les définitions d'apparence simple cachent des propriétés très riches qui sont intimement liées aux sujets traités dans les deux autres cours. Ces propriétés en font un outil très efficace pour résoudre de multiples problèmes combinatoires et algorithmiques, et nous esquisserons comment elles sont exploitées dans les algorithmes sus-cités pour résoudre des problèmes d'informatique théorique ouverts depuis une trentaine d'années.

Géométries combinatoires II

• Omid Amini

Room: Amphithéâtre Becquerel Dans la première partie du cours, nous donnerons quelques repères historiques sur les interactions entre la combinatoire et la géométrie complexe, en mettant particulièrement l’accent sur l’application des propriétés dites de positivité dans des contextes algébriques à la résolution de problèmes combinatoires. Cela inclut notamment la classification des f-vecteurs des polytopes, l’étude des phénomènes de log-concavité en combinatoire et l'exploration de la géométrie des matroïdes. Dans la deuxième partie, nous expliquerons comment mettre en perspective ces liens à travers le développement d'une géométrie complexe pour les espaces exotiques (tropicaux, hybrides, etc.). Les interactions vont alors dans les deux sens, avec l'utilisation également de la combinatoire pour résoudre des problèmes issus de la géométrie complexe.

Revisiter les liens entre volumes et polytopes à l'aune de la théorie de Hodge combinatoire

• Matthieu Piquerez

Room: Amphithéâtre Becquerel Les volumes des polytopes et de leurs faces sont riches en propriétés : invariant, convexité du volume, polynomialité et log-concavité du volume mixte, caractérisation d'un polytope en fonction du volumes et de la direction de ses facettes, ou de ses arêtes, etc. Certaines de ces propriétés se comprennent mieux en introduisant un objet de toute beauté : l'algèbre des polytopes de McMullen. Pour pousser plus loin l'analyse, il faut étudier les propriétés dites kählériennes de cette algèbre. On peut les voir comme des propriétés de convexités algébriques. Cela nous permettra par exemple de retrouver des résultats importants comme les inégalités sur les volumes d'Alexandrov-Fenchel ou de Brunn-Minkowski. Ces propriétés kählériennes étaient initialement l'objet d'étude de la théorie de Hodge en géométrie complexe. Cette théorie est désormais appliquées dans de nombreuses autres branches des mathématiques, comme ici en combinatoire, mais aussi en algorithmique ou dans l'étude de géométries plus exotiques.

Des polynômes log-concaves aux algorithmes de comptage et d'échantillonnage

• Arnaud de Mesmay

Room: Amphithéâtre Becquerel L'objectif de ce cours est de faire découvrir un pendant algorithmique des résultats présentés dans les cours d'Omid Amini et Mathieu Piquerez en théorie des matroïdes, en nous concentrant sur des algorithmes récents d'Anari, Liu, Oveis Gharan et Vinzant permettant de compter et d'échantillonner de façon très efficace des bases de matroïdes. Nous commençons par un survol des enjeux de la théorie des matroïdes en informatique théorique, qui permettent de généraliser le cadre désormais très bien compris des graphes à des contextes plus larges. Nous introduisons ensuite les polynômes log-concaves (également connus sous le nom de polynômes Lorentziens dans les travaux de Branden et Huh), dont les définitions d'apparence simple cachent des propriétés très riches qui sont intimement liées aux sujets traités dans les deux autres cours. Ces propriétés en font un outil très efficace pour résoudre de multiples problèmes combinatoires et algorithmiques, et nous esquisserons comment elles sont exploitées dans les algorithmes sus-cités pour résoudre des problèmes d'informatique théorique ouverts depuis une trentaine d'années.

Présentation de LEAN (assistant de preuve)

• Patrick Massot (Université Paris-Saclay)

Room: Amphithéâtre Becquerel En prévision d'une éventuelle introduction à LEAN pendant les Journées X-UPS 2026, Patrick Massot présentera rapidement l'assistant de preuve LEAN et expliquera les nécessités d'organisation pour ces Journées. Une discussion suivra sur la possibilité effective de réaliser cette thématique.