Journées mathématiques X-UPS

22 avr. 2024, 10:00 → 23 avr. 2024, 16:00 Europe/Paris

Amphithéâtre Becquerel (École polytechnique)

                               Analyse topologique de données

                                              Journées mathématiques X-UPS 2024

Conférenciers

• Mathieu Carrière, Centre Inria d'Université Côte d'Azur (Sophia Antipolis)
• Vincent Humilière, Sorbonne Université (Paris)
• Steve Oudot, Inria Saclay - Ile-de-France (Palaiseau)

Organisateurs scientifiques

• Pascale Harinck
• Alain Plagne
• Claude Sabbah

Présentation du thème

Les outils issus de la topologie ont récemment eu un impact sur l'analyse de données. L'un des développements est l'homologie persistante. Supposons que l'on dispose de données sous la forme d'un nuage de points, c'est-à-dire d'un ensemble de points. Si cet ensemble a été échantillonné à partir d'un objet, on aimerait utiliser ce nuage pour déduire les propriétés de l'objet. L'homologie persistante applique les outils de la topologie algébrique à cette fin. On la retrouve notamment dans de nouvelles classes de descripteurs pour les données, utilisées en apprentissage automatique. Les exposés de ces journées introduiront différentes facettes de ce type de questions.

Présentation des journées

Les journées mathématiques X-UPS sont un stage de formation organisé par le Centre de mathématiques Laurent Schwartz de l'École polytechnique à l'intention des professeurs des classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques.        
Elles se tiennent tous les ans au printemps. L'inscription est gratuite mais obligatoire.        
L'objectif est double : d'une part satisfaire l'intérêt des professeurs pour l'actualité de la recherche en mathématiques et en informatique, d'autre part leur apporter des connaissances utilisables dans leur enseignement.        
Le stage comporte six ou sept conférences éventuellement accompagnées de démonstrations ou de travaux pratiques sur ordinateur. Nous souhaitons une participation active des stagiaires sous forme de discussion et questions aux conférenciers.

Les Journées mathématiques X-UPS bénéficient du soutien de la fondation mathématique Jacques Hadamard (FMJH)

lundi 22 avril

10:00 Café d'accueil

1 Introduction à la théorie de la persistance à travers un exemple d'application

Dans cet exposé introductif, nous donnerons des éléments de contexte sur l'analyse topologique de données et son développement. Puis, de manière informelle, nous présenterons les idées qui sous-tendent la théorie de la persistance topologique, qui rassemble les fondements mathématiques du domaine. Pour cela nous prendrons l'exemple d'une application en regroupement (clustering) de données.

Orateur: Steve Oudot

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12:00 Discussion - Pause

12:30 Déjeuner

2 Homologie

La théorie de l'homologie associe à tout espace topologique des groupes, de telle sorte que si deux espaces sont homéomorphes alors les groupes associés sont isomorphes. C'est un outil central de topologie dont l'introduction remonte à Poincaré et dont les applications sont innombrables. Ils jouent aussi un rôle clé en analyse topologique des données. Dans cet exposé, nous verrons ce que sont ces groupes et ce qu'ils nous disent sur les espaces étudiés.

Orateur: Vincent Humilière

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15:00 Discussion - Pause

3 Théorie de la persistance (1)

Dans cet exposé nous utiliserons l'homologie pour introduire formellement la théorie de la persistance topologique, notamment dans ses aspects algébriques. Nous présenteros ses principaux objets d'étude, appelés modules de persistance, et nous étudierons leurs propriétés de decomposition. Ces décompositions forment la base des descripteurs utilisés en analyse topologique de données, appelés diagrammes de persistance.

Orateur: Steve Oudot

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mardi 23 avril

4 Théorie de la persistance (2)

Une composante centrale de la théorie de la persistance est le théorème de stabilité, qui garantit que des diagrammes de persistance issus des sous-niveaux de fonctions proches en norme infinie, sont eux-mêmes proches au sens de la distance bottleneck. Dans cet exposé, nous étudierons différentes répercussions de ce théorème en analyse de données et en inférence géométrique et statistique, ainsi que sa version algébrique définie au niveau des modules de persistance.

Orateur: Mathieu Carrière

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10:30 Discussion - Pause

5 Application de la persistance en géométrie

De manière surprenante, les idées issues de l'analyse topologique des données, et la théorie de la persistance en particulier, ont eu des applications très récentes en mathématiques fondamentales. Nous en verrons deux. L'une concerne la dynamique des transformations d'une surface qui préservent l'aire, et l'autre la géométrie des domaines nodaux, c'est-à-dire des ensembles délimités par les zéros des fonctions propres du laplacien.

Orateur: Vincent Humilière

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12:00 Discussion - Pause

12:30 Déjeuner

6 Application de la persistance en apprentissage automatique

La principale application de la théorie de la persistance est en analyse de données, où les diagrammes de persistance sont utilisés pour construire et améliorer des modèles prédictifs calibrés à partir d'un ensemble fini de données. Dans cet exposé, nous formaliserons les bases de l'apprentissage automatique supervisé et non-supervisé, ainsi que les différentes approches permettant l'incorporation des diagrammes de persistance dans les modèles standards via les méthodes à noyaux.

Orateur: Mathieu Carrière

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7 Perspectives (discussion)