Régularité des trajectoires optimales lorsque la vitesse est pénalisée dans $L^1$

• Filippo Santambrogio (Université Claude Bernard - Lyon 1)

Room: Salle de séminaire 3L15 Je présenterai un certain nombre de problèmes variationnels assez simples où l'on cherche une courbe minimisant une énergie qui contient sa longueur (norme $L^1$ de la dérivée temporelle) et un coût éventuellement non-autonome. Les compétiteurs sont naturellement $BV$ en temps, mais on donnera des conditions pour prouver qu'ils sont en fait Lipschitziens. Après quelques exemples de problèmes où les courbes sont à valeurs dans l'espace euclidien (où même dans la droite réelle) on regardera le cas où l'espace d'arrivée est un espace fonctionnelle, notamment l'espace $L^1$. Le résultat de régularité Lipschitz est alors plus délicat, et on peut se poser aussi la question de la régularité spatiale. Cet exposé, issu de résultats obtenus avec Annette Dumas (en thèse avec moi à Lyon 1), est partiellement lié à celui que je viens de donner aux journées MODE, mais se concentrera plus sur les résultats de régularité et pas sur la modélisation qui nous a conduit à étudier ces problèmes.

Un principe de comparaison pour l'équation de Hamilton-Jacobi sur des espaces de dimension infinie

• Daniela Tonon (Université de Padoue)

Room: Salle de séminaire 3L15 Dans cet exposé, nous présentons un principe de comparaison pour une équation de Hamilton Jacobi (HJ) correspondante au flot de gradient, linéairement contrôlé, d'une fonctionnelle d'énergie définie sur un espace métrique. Les principales difficultés viennent du fait que les hypothèses géométriques imposées à la fonctionnelle d'énergie ne donnent aucun contrôle sur la croissance de son flot de gradient ni sur sa régularité. Par conséquent, ce cadre n'est pas couvert par les résultats existants sur les équations HJ sur les espaces de dimension infinie (dont l'étude a été initiée dans une série d'articles par Crandall et Lions). Nous démontrons le principe de comparaison en combinant des ingrédients plutôt classiques, tels que le principe d'optimisation perturbé d'Ekeland, avec l'utilisation de la distance de Tataru et des propriétés de régularisation des flots de gradient, i.e. des inégalités variationnelles évolutives, que nous exploitons pour construire des bornes supérieures et inférieures rigoureuses d'un hamiltonien formel. Nos résultats s'appliquent à une large classe d'exemples, y compris les flots de gradient sur les espaces de Hilbert et sur les espaces de Wasserstein équipés d'une fonctionnelle d'énergie, à déplacement convexe, satisfaisante la condition de McCann.

Une version non-orientée de la fonctionnelle d'Aviles-Giga

• Benoît Merlet (Université de Lille)

Room: Salle de séminaire 3L15

Deux résultats d’analyse $L^2_{\mathbb{P}} - \mathcal{P}_2$

• Chloé Jimenez (Université de Brest)

Room: Salle de séminaire 3L15 En suivant les idées de P.-L. Lions, on peut représenter toute probabilité de l’espace de Wasserstein $\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$ par une variable aléatoire de $L^2_{\mathbb{P}}(\Omega,\mathbb{R}^d)$ où $(\Omega, B(\Omega), \mathbb{P})$ est un espace probabilisé bien choisi. Dans un premier temps, on verra comment une courbe absolument continue sur l’espace de Wasserstein peut être représentée par une courbe absolument continue dans $L^2_{\mathbb{P}}(\Omega,\mathbb{R}^d)$. Ce résultat est intéressant car il permet une reformulation des problèmes de contrôle optimal dans $\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$. Dans un second temps, je présenterai une preuve originale du théorème de représentation de Lions pour la différentielle d’une application $u : \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)\to \mathbb{R}$.

Comportement asymptotique des points critiques de la fonctionnelle d'Ambrosio-Tortorelli

• Jean-François Babadjian (Université Paris-Saclay)

Room: Salle de séminaire 3L15 Dans ce travail en collaboration avec Vincent Millot et Rémy Rodiac, nous nous intéressons à l'analyse asymptotique des points critiques de la fonctionnelle d'Ambrosio-Tortorelli (AT). Si, à l'aide d'une analyse par Gamma-convergence, les minima globaux sont bien connus pour converger vers des minima globaux de la fonctionnelle de Mumford-Shah (MS), il n'existe pas de théorie générale permettant de passer à la limite dans les points critiques. Sous une hypothèse de convergence de l'énergie nous montrons la convergence des points critiques de AT vers certains points critiques de MS au sens des variations internes.