Séminaire des Doctorants et Doctorantes

Une preuve originale du théorème de Yaglom

par Valentin Rapenne

Europe/Paris
Fokko Ducloux (ICJ)

Fokko Ducloux

ICJ

Description

En 1873, afin d'étudier le disparition (ou non) des familles nobles et des patronymes associés, Galton introduit le modèle de branchement le plus simple qui soit: Chaque individu a des enfants selon une loi de probabilité mu et le nombre d'enfants de chaque individu est indépendant des autres. Ce modèle est connu aujourd'hui comme le modèle de Galton-Watson. Un cas remarquable est le cas critique où l'espérance de mu est 1. Si on note Z_n le nombre d'individus à la génération n, le théorème de Yaglom affirme que, conditionnellement à Z_n>0, Z_n/n tend vers une loi exponentielle. La preuve classique de ce résultat est un peu technique et peu amusante. Nous verrons dans cette exposé une autre preuve de Geiger qui est, elle, purement probabiliste et nettement plus intéressante.