Congrès d'Analyse Numérique pour les Jeunes - 2020

Contrôlabilité de systèmes linéaires paraboliques avec contrainte de positivité sur l'état

4 déc. 2020, 14:00

30m

Zoom (Virtuel)

Session parallèle 10

Orateur

Clément Moreau (CEREMADE, Université Paris-Dauphine PSL)

Description

Soit $N,m,d\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $\mathrm{\Omega }$ un ouvert borné régulier de ${\mathbb{R}}^d$, $\omega$ un ouvert inclus dans $\mathrm{\Omega }$ et $T>0$. On considère un système linéaire parabolique de $N$ équations couplées avec contrôle interne sur $\omega$, de la forme
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \{\begin{array}{lll}{\partial }_{t}Y-D\mathrm{\Delta }Y& =AY+Bu{\mathbf{1}}_{\omega }& \text{sur }{\mathrm{\Omega }}_T,\\ \frac{\partial Y}{\partial n}& =0& \text{sur }(0,T)\times \partial \mathrm{\Omega },\\ Y(0,\cdot )& =Y^0(\cdot )& \text{sur }\mathrm{\Omega }.\end{array}\end{array}$$ avec $Y\in {\mathbb{R}}^N$, $A,D\in M_N(\mathbb{R})$ avec $D$ diagonale, $B\in M_{N,m}(\mathbb{R})$ et $Y_0\in L^2(\mathrm{\Omega }{)}^N$. Il est établi dans [1] que le système (1) est contrôlable moyennant une condition de type Kalman sur $A$ et $B$. Aucune contrainte n'est cependant imposée sur la trajectoire $Y$ qui permet d'atteindre un état-cible donné. Or, l'état dans ce type de système est pourtant usuellement positif en réalité (températures, concentrations). Etant données une condition initiale $Y^0$ et une trajectoire cible $Y^{\mathrm{f}}$, toutes deux positives, l'objectif est donc de trouver un contrôle $u$ tel que la solution de (1) avec donnée initiale $Y^0$ vérifie $Y(\cdot ,T)=Y^{\mathrm{f}}(\cdot ,T)$ pour un certain $T$ et $Y(\cdot ,t)\ge 0$ pour tout $t\in [0,T]$. La recherche en contrôlabilité de systèmes avec contrainte de positivité sur l'état connaît des progrès rapides ces dernières années ; citons entre autres les résultats obtenus pour l'équation de la chaleur [2] et pour une équation parabolique scalaire semilinéaire [3]. Dans cet exposé, on énoncera deux résultats de contrôlabilité avec contrainte sur l'état pour les systèmes couplés de la forme (1) : l'un dans le cas général et un autre plus fort dans le cas où $D=I_n$. Les preuves s'appuient sur une méthode "en escalier" également employée dans [2,3]. On montrera en particulier que le temps minimal de contrôlabilité est strictement positif.

[1] F. Ammar-Khodja, A. Benabdallah, C. Dupaix et M. Gonzàlez-Burgos, A Kalman rank condition for the localized distributed controllability of a class of linear parabolic systems, Journal of Evolution Equations, 2009.

[2] J. Lohéac, E. Trélat, and E. Zuazua, Minimal controllability time for the heat equation under unilateral state or control constraints, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences 27.09 (2017): 1587-1644.

[3] D. Pighin, E. Zuazua, Controllability under positivity constraints of semilinear heat equations, arxiv preprint: http://arxiv.org/abs/1711.07678, 2018.