Orateur
Description
Soit $N, m , d \in \mathbb{N}^*$, $\Omega$ un ouvert borné régulier de $\mathbb{R}^d$, $\omega$ un ouvert inclus dans $\Omega$ et $T>0$. On considère un système linéaire parabolique de $N$ équations couplées avec contrôle interne sur $\omega$, de la forme
$$
\tag{1} \left \{
\begin{array}{l l l}
\partial_t Y - D \Delta Y &= A Y + B u \mathbf{1}_{\omega} &\text{sur } \Omega_T, \\
\frac{\partial Y}{\partial n} &= 0 &\text{sur } (0,T) \times \partial \Omega, \\
Y(0,\cdot)&=Y^0 (\cdot) &\text{sur } \Omega.
\end{array}
\right .
$$
avec $Y \in \mathbb{R}^N$, $A, D \in M_N (\mathbb{R})$ avec $D$ diagonale, $B \in M_{N,m} (\mathbb{R})$ et $Y_0 \in L^2(\Omega)^N$.
Il est établi dans [1] que le système (1) est contrôlable moyennant une condition de type Kalman sur $A$ et $B$. Aucune contrainte n'est cependant imposée sur la trajectoire $Y$ qui permet d'atteindre un état-cible donné. Or, l'état dans ce type de système est pourtant usuellement positif en réalité (températures, concentrations). Etant données une condition initiale $Y^0$ et une trajectoire cible $Y^{\mathrm{f}}$, toutes deux positives, l'objectif est donc de trouver un contrôle $u$ tel que la solution de (1) avec donnée initiale $Y^0$ vérifie $Y(\cdot,T)=Y^{\mathrm{f}}(\cdot,T)$ pour un certain $T$ et $Y(\cdot,t)\geq 0$ pour tout $t \in [0,T]$.
La recherche en contrôlabilité de systèmes avec contrainte de positivité sur l'état connaît des progrès rapides ces dernières années ; citons entre autres les résultats obtenus pour l'équation de la chaleur [2] et pour une équation parabolique scalaire semilinéaire [3].
Dans cet exposé, on énoncera deux résultats de contrôlabilité avec contrainte sur l'état pour les systèmes couplés de la forme (1) : l'un dans le cas général et un autre plus fort dans le cas où $D=I_n$. Les preuves s'appuient sur une méthode "en escalier" également employée dans [2,3]. On montrera en particulier que le temps minimal de contrôlabilité est strictement positif.
[1] F. Ammar-Khodja, A. Benabdallah, C. Dupaix et M. Gonzàlez-Burgos, A Kalman rank condition for the localized distributed controllability of a class of linear parabolic systems, Journal of Evolution Equations, 2009.
[2] J. Lohéac, E. Trélat, and E. Zuazua, Minimal controllability time for the heat equation under unilateral state or control constraints, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences 27.09 (2017): 1587-1644.
[3] D. Pighin, E. Zuazua, Controllability under positivity constraints of semilinear heat equations, arxiv preprint: http://arxiv.org/abs/1711.07678, 2018.
