Drinfeld a construit deux tours de revêtements $(\mathcal{M}_{LT}^n)_n$ et $(\mathcal{M}_{Dr}^n)_n$ d'espaces de déformation. On sait que la partie supercuspidale de la cohomologie étale géométrique $l$-adique à support compact de ces espaces fournit des réalisations géométriques des correspondances de Langlands et de Jacquet-Langlands locales. Nous souhaitons prouver les mêmes correspondances en cohomologie de De Rham à support compact. Nous parvenons à donner une réponse positive pour les premiers revêtements $\mathcal{M}_{LT}^1$ et $\mathcal{M}_{Dr}^1$. Ce travail s'inspire des thèses de Yoshida et Wang qui prouvent le résultat du côté étale $l$-adique et nécessite la généralisation d'un théorème de Grosse-Klönne sur la cohomologie de De Rham des espaces analytiques admettant un modèle semi-stable.
