Journées mathématiques X-UPS

20 avr. 2020, 09:30 → 21 avr. 2020, 16:00 Europe/Paris

Amphithéâtre Becquerel (École polytechnique)

Suite à la fermeture de l'Ecole polytechnique,     les journées X-UPS 2020 sont annulées

                    Formulations intégrales,
                    modélisation numérique
                 et applications industrielles

                     Journées mathématiques X-UPS 2020

                        (Attention : horaires inhabituels)

Conférenciers

• Toufic Abboud, IMACS, École polytechnique (Palaiseau)
• François Alouges, CMAP, École polytechnique (Palaiseau)
• Matthieu Aussal, CMAP, École polytechnique (Palaiseau)
• Aline Lefebvre-Lepot, CMAP, CNRS, École polytechnique (Palaiseau)

Organisateurs scientifiques

• Pascale Harinck
• Alain Plagne
• Claude Sabbah

 Présentation du thème

Les formulations intégrales permettent de résoudre de nombreux problèmes en mécanique des milieux continus. Par exemple, la propagation d’ondes acoustiques, ou électromagnétiques, les déformations en élasticité linéaire ou encore la modélisation des fluides à bas nombre de Reynolds sont autant d’exemples où les fonctions de Green sous-jacentes sont connues et pour lesquels des représentations intégrales permettent de caractériser la solution et de proposer des méthodes numériques afin de les approcher. Malheureusement, la discrétisation conduit à résoudre des systèmes linéaires pleins, ce qui limite grandement la taille des problèmes que l’on peut résoudre sur un ordinateur standard. Pour contourner cette difficulté, plusieurs approches ont été développées depuis une trentaine d’années. Nous détaillerons celle des matrices hiérarchiques, où H-matrices, qui permet de représenter de façon compressée les systèmes linéaires tout en gardant la possibilité d’effectuer les opérations classiques, et en particulier la factorisation LU.

Ces journées seront l’occasion de faire un tour d’horizon de ces méthodes et de leurs applications en contexte industriel. Des démonstrations sur ordinateur pendant les exposés permettront de se convaincre de leur efficacité ainsi que de mieux comprendre l’utilisation de H-matrices sur ces problèmes.

Présentation des journées

Les journées mathématiques X-UPS sont un stage de formation organisé par le Centre de mathématiques Laurent Schwartz de l'École polytechnique à l'intention des professeurs des classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques.
Elles se tiennent tous les ans au printemps. L'inscription est gratuite mais obligatoire.
L'objectif est double : d'une part satisfaire l'intérêt des professeurs pour l'actualité de la recherche en mathématiques et en informatique, d'autre part leur apporter des connaissances utilisables dans leur enseignement.
Le stage comporte six ou sept conférences éventuellement accompagnées de démonstrations ou de travaux pratiques sur ordinateur. Nous souhaitons une participation active des stagiaires sous forme de discussion et questions aux conférenciers.

lundi 20 avril

09:30 → 10:30 Café d'accueil

10:30 → 12:00 Introduction aux formulations intégrales (méthodes BEM) et leur discrétisation

Dans ce cours nous montrerons comment des solutions d’équations aux dérivées partielles peuvent s’écrire de façon naturelle sous une forme intégrale. Les formulations faisant intervenir les solutions élémentaires, ou noyau de Green, des équations correspondantes, ce genre de techniques est réservé aux équations linéaires, mais elles trouvent déjà de nombreuses applications avec les équations de Laplace, de Helmholtz, de Maxwell ou de Stokes pour n’en citer que quelques unes.

Ces formulations intégrales conduisent après une discrétisation de type “éléments finis” qui sera détaillée un moyen naturel d’approcher des solutions de problèmes en milieu infini pour lesquels la condition “à l’infini” est intégrée de manière naturelle dans la formulation au travers du noyau de Green choisi.

On peut ainsi se ramener à résoudre un système linéaire qui fournira une inconnue permettant le calcul (approché) de la solution en tout point de l’espace. Cette approche très satisfaisante au premier abord possède toutefois plusieurs difficultés qu’il convient de surmonter et qui seront détaillées dans les cours suivants.

Orateur: François Alouges

12:00 → 12:30 Discussion - Pause

12:30 → 14:00 Déjeuner

14:00 → 15:30 Intégration numérique. Application aux méthodes BEM

Les équations intégrales, après discrétisation par éléments finis, se ramènent à la résolution d'un système linéaire dont les coefficients de la matrice et du second membre sont donnés sous forme d'intégrales. Ces intégrales ne pouvant être calculées explicitement, on est amené à les approcher numériquement.

Nous commencerons par montrer comment des intégrales à une dimension sur un segment peuvent être approchées. On présentera les formules de quadrature élémentaires basées sur l'interpolation des fonctions à intégrer. On montrera que l'on peut choisir les points d'interpolation de manière à optimiser la précision de la méthode.

Nous montrerons ensuite comment cette technique peut s'adapter pour intégrer des fonctions en deux dimensions sur des triangles. Cela permet alors d'approcher les intégrales intervenant dans les matrices BEM (qui sont définies sur des surfaces discrétisées formées d'une réunion de triangles).

Malheureusement, ces méthodes ne sont pas suffisantes pour approcher correctement les coefficients des matrices intervenant en BEM. En effet, dans ce cas, on est amené à calculer des intégrales qui sont singulières en un point et les résultats précédents ne s'appliquent plus. Nous montrerons comment on peut résoudre ce problème pour se ramener à nouveau à des intégrales classiques qui peuvent être approchées par les méthodes précédemment décrites.

Orateur: Aline Lefebvre

15:30 → 16:00 Discussion

mardi 21 avril

10:30 → 12:00 Algèbre hiérarchique, une nouvelle approche pour la résolution de systèmes linéaires

En simulation numérique d’équations aux dérivées partielles, il existe deux principaux formats de représentation matricielle : les matrices pleines et les matrices creuses. Ces deux classes, associées à des opérations algébriques, répondent aux attentes de nombreuses méthodes, comme les différences finies, les éléments finis, les éléments de frontière, etc. Dans le cas particulier des équations intégrales, la discrétisation par éléments de frontière amène à la résolution de systèmes linéaires denses de taille conséquentes, pouvant parfois compter plusieurs millions d'inconnues. Il faut alors avoir recours à un nouveau format: les matrices hiérarchiques (H-Matrix). Cette classe, que nous allons découvrir, alimente aujourd’hui de nombreuses recherches en algèbre linéaire.

Orateur: Matthieu Aussal

12:00 → 12:30 Discussion - Pause

12:30 → 14:00 Déjeuner

14:00 → 15:30 TBA

Orateur: Toufic Abboud

15:30 → 16:00 Discussion