Introduction aux formulations intégrales (méthodes BEM) et leur discrétisation

• François Alouges

Room: Amphithéâtre Becquerel Dans ce cours nous montrerons comment des solutions d’équations aux dérivées partielles peuvent s’écrire de façon naturelle sous une forme intégrale. Les formulations faisant intervenir les solutions élémentaires, ou noyau de Green, des équations correspondantes, ce genre de techniques est réservé aux équations linéaires, mais elles trouvent déjà de nombreuses applications avec les équations de Laplace, de Helmholtz, de Maxwell ou de Stokes pour n’en citer que quelques unes. Ces formulations intégrales conduisent après une discrétisation de type “éléments finis” qui sera détaillée un moyen naturel d’approcher des solutions de problèmes en milieu infini pour lesquels la condition “à l’infini” est intégrée de manière naturelle dans la formulation au travers du noyau de Green choisi. On peut ainsi se ramener à résoudre un système linéaire qui fournira une inconnue permettant le calcul (approché) de la solution en tout point de l’espace. Cette approche très satisfaisante au premier abord possède toutefois plusieurs difficultés qu’il convient de surmonter et qui seront détaillées dans les cours suivants.

Intégration numérique. Application aux méthodes BEM

• Aline Lefebvre

Room: Amphithéâtre Becquerel Les équations intégrales, après discrétisation par éléments finis, se ramènent à la résolution d'un système linéaire dont les coefficients de la matrice et du second membre sont donnés sous forme d'intégrales. Ces intégrales ne pouvant être calculées explicitement, on est amené à les approcher numériquement. Nous commencerons par montrer comment des intégrales à une dimension sur un segment peuvent être approchées. On présentera les formules de quadrature élémentaires basées sur l'interpolation des fonctions à intégrer. On montrera que l'on peut choisir les points d'interpolation de manière à optimiser la précision de la méthode. Nous montrerons ensuite comment cette technique peut s'adapter pour intégrer des fonctions en deux dimensions sur des triangles. Cela permet alors d'approcher les intégrales intervenant dans les matrices BEM (qui sont définies sur des surfaces discrétisées formées d'une réunion de triangles). Malheureusement, ces méthodes ne sont pas suffisantes pour approcher correctement les coefficients des matrices intervenant en BEM. En effet, dans ce cas, on est amené à calculer des intégrales qui sont singulières en un point et les résultats précédents ne s'appliquent plus. Nous montrerons comment on peut résoudre ce problème pour se ramener à nouveau à des intégrales classiques qui peuvent être approchées par les méthodes précédemment décrites.

Algèbre hiérarchique, une nouvelle approche pour la résolution de systèmes linéaires

• Matthieu Aussal

Room: Amphithéâtre Becquerel En simulation numérique d’équations aux dérivées partielles, il existe deux principaux formats de représentation matricielle : les matrices pleines et les matrices creuses. Ces deux classes, associées à des opérations algébriques, répondent aux attentes de nombreuses méthodes, comme les différences finies, les éléments finis, les éléments de frontière, etc. Dans le cas particulier des équations intégrales, la discrétisation par éléments de frontière amène à la résolution de systèmes linéaires denses de taille conséquentes, pouvant parfois compter plusieurs millions d'inconnues. Il faut alors avoir recours à un nouveau format: les matrices hiérarchiques (H-Matrix). Cette classe, que nous allons découvrir, alimente aujourd’hui de nombreuses recherches en algèbre linéaire.

TBA

• Toufic Abboud

Room: Amphithéâtre Becquerel