Géométrie, Algèbre, Dynamique et Topologie

Sur une preuve de la Conjecture d’arbre

by Olga PARIS-ROMASKEVICH (Univ. Rennes 1)

Europe/Paris
Salle 318 (IMB)

Salle 318

IMB

Description
Nous nous intéresserons à un billard dans un pavage du plan défini de la façon suivante. Une bille suit une ligne droite jusqu’au moment où elle arrive au bord d’une tuile puis passe dans la tuile voisine en suivant la loi de réfraction de Snell-Descartes avec un coefficient k=-1. Ce système dynamique abstrait peut paraître un peu excentrique (et il l’est). Mais il modélise aussi le réel, en particulier le mouvement de la lumière dans un milieu hétérogène construit de méta-matériaux intensivement étudiés en optique en ce moment.
Dans cet exposé, je m’attarderai surtout sur un exemple d’un tel billard défini dans un pavage triangulaire périodique. Il s’avère, que toute trajectoire bornée d’un tel billard est périodique. Baird-Smith, Davis, Fromm et Iyer ont conjecturé qu’une telle trajectoire ne contourne pas de triangles. Ceci est la Conjecture d’arbre que j’ai prouvé récemment. Je raconterai les idées de la preuve et quelques corollaires de ce résultat qui s’appliquent aux objets classiques en dynamique tel que la famille d’Arnoux-Rauzy des échanges d’intervalles et la fractale de Rauzy.