Dans cet exposé, on présente une technique astucieuse introduite par Dmitry Turaev pour permuter des modes propres de l'opérateur de Schrödinger 1D. Elle s'appuie entre autre sur une variation de la forme du domaine. Dans un travail en collaboration avec lui et Alessandro Duca, nous transposons cette idée dans l'EDP dépendante du temps pour obtenir une nouvelle façon de contrôler la solution de l'équation de Schrödinger par un mouvement lent d'un haut mur de potentiel.