Séminaire des Doctorants et Doctorantes

Combinatoire des polynômes de $(q,y)$-Laguerre

by Qiong Qiong Pan

Europe/Paris
435 (ENS)

435

ENS

Description
Les polyn\^omes unitaires de Laguerre $L_n^{(\alpha)}(x)$ sont definis par la fonction g\'en\'eratrice
\begin{align*}
(1+t)^{-\alpha-1}\exp\left(\frac{xt}{t+1}\right)=\sum_{n=0}^\infty L^{(\alpha)}_n(x) \frac{t^n}{n!}
\end{align*}
et satisfont la relation de r\'ecurrence \`a trois termes
\begin{align*}
L^{(\alpha)}_{n+1}(x)=(x-(2n+\alpha+1))L^{(\alpha)}_n(x)-n(n+\alpha)L^{(\alpha)}_{n-1}(x).
\end{align*}
En 1984, Foata et Strehl ont donn\'e une interpr\'etation combinatoire pour les polyn\^omes de Laguerre en construisant un mod\`ele qui s'appelle la configuration de Laguerre. Rappelons-nous qu'une configuration de Laguerre sur $[n]:=\{1,\cdots,n\}$ est un couple $(A,f)$, o\`u $A\subset [n]$ et $f$ est une injection 
de $A$ \`a $[n]$. Dans cet expos\'e, nous nous concentrerons sur des polyn\^omes plus g\'en\'eraux, c'est-\`a-dire les polyn\^omes de $(q,y)$-Laguerre  $L_n^{(\alpha)}(x;y;q)$, qui sont
definis par la relation de r\'ecurrence
\begin{align*}
L^{(\alpha)}_{n+1}(x;y;q)&=\left(x-(y[n+\alpha+1]_q+[n]_q)\right)L^{(\alpha)}_n(x;y;\,q)\\
&\hspace{1.5cm}-y[n]_q[n+\alpha]_q\,L^{(\alpha)}_{n-1}(x;y;\,q)
\qquad (\alpha\geq -1, \; n\geq 1)\nonumber,
\end{align*}
o\`u $L^{(\alpha)}_{0}(x;y;q)=1$, $L^{(\alpha)}_{-1}(x;y;q)=0$.
Nous donnerons aussi une interpr\'etation combinatoire pour les coefficients des polyn\^omes de $(q,y)$-Laguerre.