Géométrie et Systèmes Dynamiques

Sous-groupes paraboliques dans le complexe de longueur supplémentaire

par Maria CUMPLIDO (Univ. Bourgogne)

Europe/Paris
Salle 318 (IMB)

Salle 318

IMB

Description
(Travail en collaboration avec Yago Antolín.) Il est bien connu que le groupe des tresses à $n$ brins $A_n$ agit par isométries sur le complexe des courbes du disque à $n$ trous, $D_n$. Ce fait découle de la définition topologique de $A_n$, quand on voit ce groupe comme le groupe de difféotopie de $D_n$. Cette action est un outil fondamental pour prouver certains résultats sur le groupe des tresses. Par ailleurs, le groupe des tresses appartient à une famille de groupes présentables, les groupes d'Artin-Tits, et plus précisément il est un groupe d'Artin-Tits de type sphérique. Ce genre de groupes partage un bon nombre de propriétés avec $A_n$, mais on ne peut pas utiliser la topologie pour les montrer.  Pour corriger cela, des nouveaux complexes, sur lesquels les groupes d'Artin-Tits agissent, sont en train d'être développés. On va s'intéresser à deux complexes de ce type : le complexe de longueur supplémentaire $C_{al}$ et le complexe des sous-groupes paraboliques irréductibles $P$. $P$ a un définition très naturelle et est complètement analogue  au complexe des courbes dans le cas des tresses, mais son hyperbolicité n'a pas encore été démontrée.  $C_{al}$ a l'avantage d'être hyperbolique mais, bien que cela ait été conjecturé, on ne sait pas encore s'il est quasi-isométrique au complexe des courbes dans le cas des tresses.  Toutefois, Calvez et Wiest on fait des progrès pour montrer cette conjecture avec un résultat selon lequel les tresses agissant loxodromiquement sur $C_{al}$ sont pseudo-Anosov. Le but de notre travail est d'obtenir un tel résultat, non seulement pour les tresses, mais pour tous les groupes d'Artin-Tits de type sphérique, en trouvant des analogues algébriques au raisonnement de Calvez et Wiest. Ainsi, on peut conjecturer que $C_{al}$ est quasi-isométrique à $P$ dans tous les cas. 
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