Valeurs spéciales des fonctions $L$ et modules de Drinfeld-Hayes

par Tuan Ngo Dac (Université de Caen)

mardi 30 janv. 2018, 10:45 → 11:45 Europe/Paris

Bât. Braconnier, salle Fokko du Cloux (ICJ, Université Lyon 1)

En 2012, F. Pellarin a introduit une nouvelle classe de fonctions $L$ à plusieurs variables associée à la droite affine sur un corps fini. Peu de temps après, B. Anglès, F. Demeslay, F. Pellarin, R. Perkins et F. Tavares Ribeiro ont montré que ces fonctions à plusieurs variables sont intimement liées à l'arithmétique des tordues du module de Carlitz par la fonction de chtouca associée. De plus, il y a un lien profond entre ces fonctions $L$ et la formule de classes de Taelman qui est incarné par un polynôme symétrique à plusieurs variables $\mathbb B_s$.

Dans la première partie de mon exposé, je vais présenter quelques nouveaux résultats dans le contexte général où le module de Carlitz est remplacé par des modules de Drinfeld-Hayes en introduisant la notion d'unités de Stark dans notre contexte.
 

Dans la deuxième partie, je vais expliquer comment certaines propriétés combinatoires du polynôme $\mathbb B_s$ mentionné plus haut entraînent des conséquences arithmétiques remarquables : 

• une analogue d'une conjecture de Kaneko-Zagier sur les nombres de Bernoulli-Carlitz,
• et quelques identités entre les fonctions $L$ conjecturées très récemment par Pellarin. 

Cet exposé est basé sur des travaux en collaboration avec B. Anglès, F. Pellarin et F. Tavares Ribeiro.