La conjecture de Mahler sur les coefficients de Taylor des fonctions différentiellement algébriques.

par Tanguy Rivoal (CNRS)

mardi 16 juin 2026, 10:45 → 11:45 Europe/Paris

Salle Fokko du Cloux (ICJ, Université Lyon 1)

Soit $f=\sum_{n\ge 0} f_n x^n \in \overline{\mathbb Q}[[x]]$ une solution d'une équation différentielle algébrique $Q(x,y(x),..., y^{(k)}(x))=0$, où $Q$ est un polynôme à coefficients dans $\overline{\mathbb Q}$. La suite $(f_n)_{n\ge 0}$ vérifie une récurrence non-linéaire, dont l'expression fait intervenir un polynôme $M$ de degré $s$. Lorsque l'équation est linéaire, $M$ est son polynôme indiciel à l'origine. J'expliquerai pourquoi lorsque $M$ est scindé sur $\mathbb Q$, il existe deux entiers $\delta$ et $\nu\ge 1$ tels que le dénominateur de $f_n$ divise $\delta^{n+1}(\nu n+\nu)!^{2s}$ pour tout $n\ge 0$, ce qui généralise une propriété bien connue lorsque l'équation est de plus linéaire. Cela implique, dans ce cas précis, une forme forte d'une conjecture de Mahler selon laquelle la minoration due à Popken $\vert f_n\vert\ge n^{-\mathcal{O}(n \log(n))}$ (lorsque $f_n\neq 0$) n'est pas optimale. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Christian Krattenthaler (Université de Vienne).