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Gerard Freixas i Montplet (CNRS - IMJ)
Quelques éléments de base de la théorie de Hodge $p$-adique
La théorie de Hodge "transcendante" fournit, pour toute variété complexe compacte kählerienne, un isomorphisme canonique entre la cohomologie singulière (à coefficients complexes) et le gradué de la cohomologie de de Rham associé à la filtration de Hodge. Une question analogue se pose pour les variétés algébriques propres et lisses sur des corps quelconques, à savoir comparer leurs cohomologies étale et de Rham. La théorie de Hodge $p$-adique donne une réponse dans le cas des corps locaux de caractéristique mixte. Le premier cas à avoir été traité fut celui des variétés abéliennes à bonne réduction, conséquence des travaux de Tate sur la cohomologie galoisienne continue de $\mathbf{C}_p$ et les groupes $p$-divisibles. Par exemple, il joua un rôle crucial dans la preuve par Faltings de la conjecture de Mordell (nécessitant une extension au cas semi-stable due à Raynaud). Le but de l'exposé est de donner une présentation du théorème de Tate en suivant l'approche de Fontaine et Coleman. On commencera par un peu de théorie de la ramification, une brève introduction à $\mathbf{C}_p$ et sa cohomologie galoisienne, pour attaquer ensuite l'approche de ces auteurs. En fonction du temps, je parlerai de quelques généralisations possibles de ce résultat: Fontaine-Messing, Faltings, etc.