Programme Scientifique
Nous aurons le plaisir d'écouter les invités Virginie Bonnaillie-Noël (ENS Paris, CNRS) et Marc Hindry (Paris 7), ainsi que les doctorants Claire Collin (Lille), Loïc Gaillard (Lens), François Motte (Lille), Aya Mourad (Calais) et Miruna-Stefana Sorea (Lille).
Titres et résumés (ordre alphabétique)
Virginie Bonnaillie-Noël - Quelques aspects mathématiques pour l’analyse de la supraconductivité
Dans cet exposé, nous présenterons comment la modélisation et l’analyse mathématique permettent d’expliquer et comprendre l’influence de la géométrie du matériau sur l’apparition de la supraconductivité. Pour cela, nous utiliserons des outils d’analyse asymptotique, numérique et de théorie spectrale. Nous combinerons des résultats théoriques ainsi que des simulations numériques.
Claire Colin - Simulations numériques d'écoulements en régime bas Mach
Nous nous intéressons à la modélisation et à la simulation numérique de fluides à faible nombre de Mach. Le système d'équations considéré s'obtient par un développement asymp- totique des équations de Naviers-Stokes compressibles en fonction du nombre de Mach [3]. Ce système permet de décrire de nombreux phénomènes, et particulièrement des écoule- ments avec de forts contrastes de densité d'origine thermique, phénomènes ne pouvant être décrits correctement par l'approximation de Boussinesq.
Dans cet exposé, nous expliquerons comment sont dérivées les équations décrivant le modèle. Puis, nous présenterons une méthode numérique combinée volumes finis/éléments finis, basée sur un splitting en temps d'ordre 2. Il s'agit de la généralisation de la méthode développée dans [2], permettant de simuler les solutions aux les équations de Navier-Stokes incompressibles à densité variable. Enfin, nous illustrerons notre démarche par la simula- tion numérique de l'entrée d'un jet dans une cavité en régime transitoire bas Mach [1].
[1] A. Beccantini et al, Numerical simulations of a transient injection flow at low Mach number regime, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 76, pp 662-696.
[2] C. Calgaro, E. Creusé and T. Goudon, An hybrid Finite Volume - Finite Element me- thod for variable density incompressible flows, Journal of Computational Physics, vol 227, no 9, pp 4671-4696, 2008.
[3] A. Majda and J. Sethian, The derivation and numerical solution of the equations for zero Mach number combustion, Combustion Science and Technology, vol 42, pp 185- 205, 1985.
Loïc Gaillard - Mesures de Carleson : des espaces de Hardy aux espaces de Müntz
Pour un espace X de fonctions sur $\mathbb{D}$ ou sur $[0,1]$, on dit que $\mu$ est une mesure de Carleson pour $X$ si l'opérateur d'inclusion $J:X\rightarrow L^p(\mu)$ est borné. Cela équivaut à dire qu'il existe une constante $C$ telle que pour toute fonction $f\in X$, l'inégalité $\|f\|_{L^p(\mu)}\leq C\|f\|_X$ est satisfaite.
Nous allons rappeler le Théorème de Carleson, qui caractérise complètement les mesures de Carleson des espaces de Hardy $H^p$ en termes du comportement de $\mu$ sur la frontière de D. Nous verrons aussi certaines applications de ce théorème. Ensuite nous définirons les espaces de Müntz $M_\Lambda^p$ qui sont des sous-espaces de $L^p([0,1])$. Nous verrons que dans le cas où $\Lambda$ est lacunaire, des conditions géométriques sur le comportement de $\mu$ sur la frontière de [0,1) permettent de caractériser les mesures de Carleson pour $M_\Lambda^p$ d'une manière très analogue au cas des espaces de Hardy.
Marc Hindry - Les fonctions zêta au secours des courbes elliptiques
Une courbe elliptique est une cubique lisse dans le plan projectif, avec un point marqué. Une telle courbe possède une loi de groupe et l'ensemble des points rationnels forme un groupe de type fini (théorème de Mordell). Estimer la taille de générateurs de ce groupe est une tâche ardue et un problème ouvert en général. Nous expliquerons une approche utilisant la fonction L de la courbe elliptique, analogue de la fonction zeta de Riemann.
François Motte - Formes effectives du théorème d'irréductibilité de Hilbert
Partant d'un polynôme à deux variables P(T,Y) dans Z(T,Y), on peut spécialiser l'indéterminée T en un t dans Z de manière à obtenir un polynôme en une variable P(t,Y). Ce processus de spécialisation est au coeur du théorème d'irréductibilité de Hilbert qui affirme que si le polynôme de départ est irréductible, on peut trouver une infinité de spécialisations pour lesquelles le polynôme spécialisé reste irréductible. Dans cet exposé, nous nous intéresserons d'une manière effective à ces spécialisations, pour déterminer d'abord pour quels t le polynôme spécialisé a des racines puis ceux pour lesquels il est irréductible. Le travail peut être étendu à un polynôme à coefficients dans un corps de nombres quelconque et conduit à un résultat intéressant en théorie inverse de Galois.
Aya Mourad - Identification de la conductivité hydraulique pour un problème d'intrusion saline: comparaison entre l'approche direct et l'approche stochastique
L'identification des paramètres est un phénomène inverse qui consiste à retrouver les données du problème à partir de sa solution. Il s'agit d'estimer des paramètres difficiles d'accès et caractérisant le phénomène, comme la conductivité hydraulique, en fonction d'observation.
Pour l'hydraulique souterraine, L'identification des paramètres tels que la porosité ou la conductivité hydraulique est une étape incontournable si l'on veut modéliser correctement l'intrusion saline (phénomène au cours duquel une masse d'eau salée pénètre à l'intérieur d'une masse d'eau douce qu'il s'agisse des eaux de surface ou des eaux souterraines) dans les aquifères. Plus précisèment, il s'agit d'estimer la conductivité hydraulique et/ou la porosité en fonction d'observations ou de mesures sur le terrain faites sur la profondeur de l'interface, h1, entre le milieu saturé et la zone sèche et sur la profondeur de l'interface eau douce/eau salée, h. Notons que, concrètement, nous ne disposons que d'observations ponctuelles (en espace et en temps) correspondant aux nombres de puits de monitoring.
Par ailleurs, le problème d'intrusion saline est souvent transitoire et l'étude de sensibilité montre que la forme de l'interface eau douce/eau salée dépend essentiellement de la conductivité hydraulique, les autres paramètres, comme la porosité ayant principalement un impact sur le temps mis à atteindre le régime permanent. Pour cette raison, nous nous focaliserons, dans ce travail, sur l'identification de la conductivité hydraulique.
On résoudra un problème inverse non stationnaire, d'un point de vue théorique et numérique puis on comparera les résultats en utilisant l'approche stochastique, qui consiste à considérer les paramètres comme des variables stochastiques.
Miruna-Stefana Sorea - Sur les diagrammes de cordes associés aux singularités des courbes analytiques réelles (d'après Ghys)
Étant donné un point singulier d'une courbe analytique réelle, un voisinage suffisamment petit autour de ce point nous permet de lui associer un diagramme analytique de cordes. Cet objet combinatoire est un cercle décoré avec un nombre pair de points et avec des cordes qui joignent ces points deux par deux.
Le but de cet exposé est d'expliquer la méthode d'Étienne Ghys pour reconnaître les diagrammes analytiques de cordes parmi les diagrammes de cordes quelconques. On s'intéressera en particulier aux configurations interdites, comme dans le cas des permutations à la Kontsevich.
