Un ensemble de Kakeya classique est un sous-ensemble du plan balayé
par une aiguille de longueur 1 qui fait un demi-tour sur elle-même
(autour d'un centre mobile). Au début au 20ème siècle, Besicovitch a
démontré qu'il existait des ensembles de Kakeya de mesure arbitrairement
petite.
Des questions analogues se posent lorsque l'on remplace le corps des
nombres réels par d'autres corps munis d'une valeur absolue et d'une
mesure de Haar. Je donnerai, dans cet exposé, des résultats valables
sur le corps des nombres p-adiques (voire plus généralement des corps
ultramétriques complets). Précisément, je définirai
une mesure naturelle sur l'ensemble des ensembles de Kakeya puis je
montrerai que, pour cette mesure, un ensemble de Kakeya est presque
sûrement de mesure nulle.
