Morphismes affines et champs de vecteurs parallèles sur les variétés lorentziennes compactes de dimension trois
par
Charles Boubel(Université de Strasbourg)
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Europe/Paris
Description
Il s’agit d’un travail commun avec Pierre Mounoud, dont la motivation est double.
D’une part, si le fibré tangent d’une variété riemannienne ou pseudo-riemannienne M (complète, simplement connexe) se décompose en une somme directe orthogonale stable par transport parallèle, cette décomposition « s’intègre » et M est un produit riemannien. C’est un résultat ancien de G. de Rham et H. Wu. Mais si le fibré tangent contient un sous-fibré isotrope stable par transport parallèle (phénomène proprement pseudo-riemannien), la situation est beaucoup plus compliquée. Si quelques résultats locaux sont connus, très peu de résultats globaux le sont. Nous examinons le cas compact le plus simple: M est de dimension trois et possède un champ de vecteurs isotropes stable par transport parallèle. Nous classifions ces variétés.
D’autre part, c’est un principe général suggéré par M. Gromov que les structures géométriques rigides à « grand » (notion dépendant de la structure) groupe d’automorphismes sont classifiables. Une structure affine sur une variété, c’est-à-dire la donnée d'une connexion, est une structure rigide. Si M est riemannienne ou pseudo-riemannienne, on considère alors le groupe G de ses automorphismes « vraiment affines », c’est-à-dire préservant la connexion mais pas la métrique, plus exactement G=Aff(M)/Isom(M). Si M est riemannienne, K. Yano a montré que G est discret et A. Zeghib que (notamment), en dimension trois, M est un quotient fini d’un tore plat dès que G est non trivial (dans ce cas, « grand » signifie seulement « non trivial » !). Nous abordons ce problème pour les variétés lorentziennes compactes de dimension trois, où la situation est plus riche. Dès que G est grand au sens « #G>2 », M est du type du paragraphe précédent : elle admet un champ de vecteurs isotrope parallèle. C’est une motivation supplémentaire pour étudier ces dernières. Divers cas apparaissent alors pour G, qui peut être discret ou de dimension un.
Ce travail est l’occasion d’observer en basse dimension divers phénomènes typiquement pseudo-riemanniens, et des questions dynamiques qu’ils engendrent.
