Rencontre autour des Publications Mathématiques de l'IHÉS

­A­nton Zorich (Paris 7)
"Sum of Lyapunov exponents of the Hodge bundle with respect to the Teichmüller geodesic flow" (joint work with A. Eskin and M. Kontsevich)

Nous montrons un théorème de structure des sous-groupes approximatifs d'un groupe abstrait G, i.e. des grandes parties fin­ies A de G vérifiant une condition de doublement (AA est recouvert par un nombre borné de
translatés de A). En bref les sous-groupes approximatifs sont ``presque nilpotents''. Ce théorème s'apparente à la fois au théorème de structure des groupes localement compacts (cinquième problème de Hilbert: Gleason, Yamabe, Montgomery-Zippin) et au théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale. Les théoriciens des modèles (Hirschfeld, Goldbring-van-den-Dries) ont jeté un éclairage nouveau sur la preuve du cinquième problème de Hilbert et mis en évidence le lien avec les groupes approximatifs (Hrushovski) rendant possible l'adaptation des techniques de Gleason et Yamabe dans le cadre des groupes approximatifs. Travail en commun avec B. Green et T. Tao. ­

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On considère le nombre de chemins $q_S((i,j),n)$ dans le quart de plan $({\bf Z}_+)^2$ partant du point $(0,0)$, arrivant au point $(i,j)$ en $n$ pas dont les déplacements appartiennent à un sous-ensemble fixé $S \subset \{-1,0,1\}^2/\setminus \{(0,0)\}$. Il existe $2^8$ choix pour $S$ et donc $2^8$ modèles à étudier. Pour tous ces modèles nous explicitons la fonction génératrice $Q_S(x,y,z)=\sum_{(i,j)\in ({\bf Z_+})^2, n\geq 0} q_S((i,j),n)x^iy^jz^n$ de manière unifiée et étudions ensuite sa nature en fonction de l'ensemble $S$: rationnelle, algébrique, holonome ou non-holonome. Le travail est commun avec ­Kilian Raschel. (see the­ pdf)­­ ­

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