Antoine Velut - Groupes fondamentaux de cônes asymptotiques de groupes de Lie

mardi 10 nov. 2026, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

435 (UMPA)

La géométrie à grande échelle est un merveilleux terrain de jeu. Pour paraphraser Gromov dans l'introduction de Asymptotic invariants of infinite groups : en déplaçant notre point de vue ``à l'infini'', un espace qui semblait  "ennuyeux et sans intérêt pour nos yeux de géomètres'' devient "une unité solide, connexe et continue, qui remplit l'horizon sans discontinuer et remplit nos coeurs de géomètres de joie''. 

On prend cette idée au pied de la lettre, en étudiant le \emph{cône asymptotique} d'un espace métrique, obtenu comme une ``image vue de l’infini'' de l'espace en question. Plus précisément, on étudie le groupe fondamental du cône asymptotique, qui est un invariant de quasi-isométrie, et qu’on teste en pratique en construisant des suites de lacets de longueur tendant vers l'infini. Celui-ci est fortement relié à un autre invariant mesurant la difficulté de remplissage des lacets, la fonction de Dehn.

Par ce prisme du cône asymptotique, on s'intéresse à la géométrie à grande échelle des groupes de Lie. On décrira en particulier la géométrie du groupe SOL, qui est un groupe de Lie résoluble faisant partie des 8 géométries modèles de dimension 3.

Des travaux de Cornulier-Tessera ont établi qu'une condition appelée ``obstruction SOL'' implique la croissance exponentielle de la fonction de Dehn . Il s’agira ici de montrer que, pour un groupe avec l'obstruction SOL, le cône asymptotique a un ”très grand” groupe fondamental, au sens qu'il contient le groupe fondamental des boucles d’oreilles hawaiiennes.