Théories à dimension finie

par M. Moreno Invitti

jeudi 21 mai 2026, 15:30 → 17:30 Europe/Paris

La Doua, Bât. Braconnier, Salle 120

Le jury sera composé de :
- Tuna Antinel, Université Claude-Bernard Lyon1, examinateur.
- Adrien Deloro, Sorbonne Université, rapporteur.
- Amador Martin-Pizarro, Albert-Ludwigs-Universität Freiburg, rapporteur.
- Françoise Point, Université de Mons, examinatrice.
- Katrin Tent, Universität Münster, examinatrice.
- Frank Wagner, Université Lyon 1, directeur de thèse.

Résumé :
Plusieurs notions de dimension, ou de rang, ont été introduites en théorie des modèles, telles que le rang de Morley, le rang de Lascar et la dimension o-minimale, qui jouent un rôle fondamental dans l’analyse d’une large classe de structures. Une observation intéressante est que, bien qu’elles soient définies dans des théories présentant d’importantes différences, elles manifestent un comportement commun, ce qui suggère la possibilité d’une généralisation unifiée. Cette unification se réalise dans la classe des théories de dimension finie. Cette thèse analyse les théories de dimension finie, en s’attachant en particulier aux structures algébriques qui y sont définissables, telles que les groupes et les anneaux de Lie.
Nous étendons d’abord le théorème de linéarisation de Zilber au cas de dimension finie, en démontrant que l’action d’un groupe abélien sur un autre peut être linéarisée. Ce résultat est ensuite généralisé à l’action des endogénies sur un groupe abélien, prolongeant ainsi un résultat de Wagner et Deloro.
Une première application de ces résultats de linéarisation est la caractérisation des groupes omega-catégoriques de dimension finie, qui se révèlent être finis-par-abéliens-par-finis.
Une seconde application concerne l’analyse des anneaux de Lie définissables dans les théories de dimension finie. Les anneaux de Lie peuvent être vus comme des algèbres de Lie dépourvues de structure d’espace vectoriel, et ils ont diverses applications en théorie des groupes. Nous classifions les anneaux de Lie connexes de dimension finie, en prolongeant des résultats de Deloro et Tindzogho Ntsiri sur les anneaux de Lie de rang de Morley fini. Une caractérisation analogue est obtenue pour les anneaux de Lie NIP de dimension finie. De plus, nous démontrons une généralisation d’un résultat de Zamour sur l’existence d’enveloppes définissables pour les sous-anneaux de Lie résolubles ou nilpotents, en l’étendant du cadre stable à une classe plus large de théories englobant les théories de dimension finie.
Dans une dernière partie indépendante de la thèse, nous classifions les accolades à gauche de rang de Morley fini. Les accolades à gauche sont des structures algébriques récemment introduites par Guarnieri et Vendramin dans l’étude de l’équation de Yang-Baxter, une équation fondamentale en physique mathématique. Ces structures algébriques ont des applications dans plusieurs domaines des mathématiques, tels que la théorie des nœuds et la théorie des groupes. Nous démontrons une caractérisation des accolades à gauche de rang de Morley fini dont la structure présente un parallélisme étroit avec celle des groupes.