Orateur
Description
Dans ce séminaire nous allons étudier un problème de stabilité pour l'inégalité isopérimétrique dans $\mathbb{R}^3$, faisant intervenir une asymétrie de type Hausdorff. Pour un corps convexe $F \subset \mathbb{R}^3$ de volume $4\pi/3$ (c'est-à-dire le volume de la boule unité dans l'espace), nous considérons la fonctionnelle
$$ Q^*(F) := \frac{\delta(F)\log\bigl(\delta(F)+\delta(F)^{-1}\bigr)P(F)^3} {\lambda^*(F)^2}, $$
où $\delta(F)$ désigne le déficit isopérimétrique, c'est-à-dire la différence entre le périmètre $P(F)$ et le périmètre de la boule unité, et $$\lambda^*(F):=\inf_{x\in\mathbb{R}^3} d_H(F,B+x)$$ la distance de Hausdorff à la famille des boules unités. Le facteur logarithmique reflète l'échelle capacitaire optimale au voisinage de la boule en dimension trois, tandis que le facteur $P(F)^3$ assure la coercivité. Notre résultat principal est l'existence du minimum de $Q^*$ dans la classe des corps convexes de volume $4\pi/3$.
Ce travail est en collaboration avec S. Bove et G. Pisante.