Beaucoup d’équations aux dérivées partielles (EDP) peuvent être vues
comme des systèmes Hamiltoniens dans un espace des phases de dimension infinie. Dans ce contexte il devient naturel de chercher les ensembles invariants pour de telles EDPs. Le cas d’une EDP linéaire peut se ramener, dans les bons cas, à un système infini d’oscillateurs harmoniques non couplés pour lesquels les ensembles invariants sont naturellement des tores.
La réponse est moins claire dans le cas d’une EDP non linéaire puisque la
non linéarité introduit des couplages entre tous ces oscillateurs. La
théorie KAM permet, à priori, de construire des tores invariants par
perturbation du cas linéaire (c’est à dire pour des solutions petites). Mais
l’application de la théorie KAM à la dimension infinie pose de nombreux
problèmes, d’autant plus si on cherche à construire des tores de dimension
infinie.
Dans mon exposé je me concentrerai sur le cas emblématique de l’équation de Schrödinger non linéaire sur le cercle, en allant des premiers résultats de S. Kuksin en 1987 à mes récents résultats avec J. Bernier et T. Robert.
