La dynamique des champs de vecteurs analytiques du plan, organisée par les (poly)cycles limites, est encore mal comprise et des questions "simples" n'ont toujours pas de réponse. Une partie de la difficulté s'explique par la dynamique non analytique lors du passage d'un «coin» dans un polycycle.
Je propose de décrire le cas le plus simple: celui d'une connexion homocline reliant les deux branches de séparatrices locales au voisinage d'un point selle, et des germes de feuilletages analytiques laissant invariante une telle configuration. J'énoncerai des théorèmes récents obtenus en collaboration avec D. Panazzolo (Mulhouse) et M. Resman (Zagreb), concernant:
- la classification à la Mattéi-Moussu des feuilletages par l'application de Poincaré,
- leur rigidité formelle,
- la liste des modèles abstraits correspondant aux cas intégrables au sens de Liouville.
Dans un second temps, je présenterai un travail en cours avec M. Resman dans lequel nous proposons une méthode de point fixe holomorphe permettant la réalisation 'explicite' des éléments de Diff(C,0) comme application de Poincaré d'une boucle homocline concrète (plongée dans le plan) en perturbant des champs de vecteurs hamiltoniens provenant de la complexification de flots rationnels sur la sphère
