Journées de Probabilités 2024

Variations régulières cachées de certains processus ponctuels en cluster

12 juin 2024, 11:10

30m

Salle de Conférénces (Institut de mathématiques de Bordeaux)

Orateur

Fabien Baeriswyl (Sorbonne Université, Université de Lausanne)

Description

Dans cet exposé, on s'intéresse aux variations régulières cachées de certains processus ponctuels (en cluster) de Poisson. Plus spécifiquement, pour $T\ge 1$, si ${\mathrm{\Pi }}_T=\sum _{i=1}^{N_0(T)}{\delta }_{T_i^T,X_i}$ dénote un processus ponctuel marqué de Poisson, avec instants d'arrivées $(T_i^T)$ renormalisés et marques $(X_i)$ indépendantes et distribuées selon une mesure $\nu$ à variation régulière, on montre que, pour une certaine vitesse à variation régulière $v(T)$ et une séquence $a(T)\to \mathrm{\infty }$, pour tout $k\ge 0$,

$v(T{)}^{k+1}\mathbb{P}(a(T{)}^{-1}{\mathrm{\Pi }}_T\in \cdot )\to \mu (\cdot )\text{ sur }\mathbb{M}(\mathcal{N}\mathrm{\setminus }{\mathcal{N}}_k),\text{ quand }T\to \mathrm{\infty },$

la convergence prenant place sur un espace de mesures ponctuelles avec exactement $k+1$ points.

On déduit de la convergence précitée des résultats limites (sur l'espace de Skorokhod) de certaines fonctionnelles de ces processus, notamment les sommes partielles considérées sur une fenêtre de temps grandissante $[0,T]$. Ce travail est une collaboration avec Olivier Wintenberger.