Journées de Probabilités 2024

Comportement au premier ordre de la constante de temps dans un modèle continu non isotrope de percolation de premier passage

12 juin 2024, 09:00

1h

Salle de Conférénces (Institut de mathématiques de Bordeaux)

Orateur

Marie Théret (Modal'X, Université Paris Nanterre)

Description

Le modèle de percolation de premier passage, introduit sur des graphes dans les années 50 par Hammersley et Welsh, est un modèle-jouet pour étudier des phénomènes de propagation. On peut en définir une version continue élémentaire à l’aide d’un processus ponctuel de Poisson homogène $\chi$ sur ${\mathbb{R}}^d$ de la façon suivante. Etant donnée une norme $N$ sur ${\mathbb{R}}^d$ (par exemple, la norme $p$ pour $p\in [1,+\mathrm{\infty }]$), on considère le modèle Booléen $\mathrm{\Sigma }$ défini comme la réunion des boules de rayon $1$ (pour $N$) centrées en les points de $\chi$. On considère que la propagation a lieu à vitesse $1$ en dehors de $\mathrm{\Sigma }$ (pour la norme $N$) et à vitesse infinie dans $\mathrm{\Sigma }$. Il en découle une pseudo-métrique aléatoire $T$, qui quantifie le temps nécessaire pour observer la propagation entre deux points de l’espace. Par sous-additivité, il est connu que $T(0,nx)\sim n\mu (x)$ pour $n$ grand, où $\mu (x)$ est appelée constante de temps. Il est notoirement difficile d’étudier la dépendance de $\mu (x)$ en les paramètres du modèle. Dans ce travail, en collaboration avec Anne-Laure Basdevant (LPSM, Sorbonne Université) et Jean-Baptiste Gouéré (IDP, Université de Tours), nous étudions le comportement au premier ordre de $\mu (x)$ quand l’intensité du processus sous-jacent $\chi$ tend vers $0$, et tentons de comprendre comment il dépend à la fois de la norme $N$ et de la direction de $x$.